Una ecuación lineal es una ecuación cuyo gráfico es una línea recta . Una ecuación de la forma \(ax + by + c = 0\) , donde a, b, c son números reales y a ≠ 0, b ≠ 0 es una ecuación lineal general en dos variables x e y. Por ejemplo, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) son ecuaciones lineales en x e y.
Siga los pasos a continuación para graficar la ecuación lineal en dos variables:
1. Escribe una ecuación que muestre una variable en función de la otra. Por ejemplo, la ecuación 5x + y = 14 se puede escribir como y = 14 − 5x
2. Encuentra al menos tres conjuntos de valores para estas variables. En la ecuación anterior, encuentra un conjunto de valores para x e y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | -1 |
Pares ordenados: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Dibuje los ejes x e y y defina su escala para trazar estos tres puntos en el gráfico.
4. Une estos tres puntos (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Obtendrás una línea recta que pase a través de ellos.
Gráfica de la ecuación de primer grado con una sola incógnita y = k es la recta paralela al eje x a una distancia de k unidades de éste. De manera similar, la ecuación x = k es la recta paralela al eje y a una distancia de k unidades de éste.
Ejemplo: El siguiente gráfico representa x = 3 e y = 5. Para la ecuación x = 3, el valor de x es 3 para cualquier valor de y, de manera similar, para la ecuación y = 5, el valor de y es 5 para cualquier valor de x.
Un conjunto de ecuaciones con dos o más variables en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables se denomina sistema de ecuaciones. Las ecuaciones que tienen más de una incógnita pueden tener un número infinito de soluciones. Por ejemplo, x + y = 20 puede ser cierto para muchos pares de x e y. Como (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7, etc.
Si se utiliza otra ecuación junto con ella, es posible encontrar el único par de valores que resuelven ambas ecuaciones al mismo tiempo. Estas se conocen como ecuaciones simultáneas . En otras palabras :
Dos ecuaciones cuyos gráficos se intersecan en un punto designado por un par ordenado de números que satisface ambas ecuaciones se denominan ecuaciones simultáneas.
Las coordenadas del punto de intersección dan la solución común de las dos ecuaciones lineales dadas. Veamos cómo hallar gráficamente los valores de las variables desconocidas utilizando dos ecuaciones lineales.
Ejemplo: Resolver gráficamente 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| y | 11 | 10 | 12 | 5 |
Grafica estos puntos y únelos para obtener una línea recta que represente la ecuación.
Lee las coordenadas del punto de intersección. Aquí son (6,6), por lo tanto x = 6, y = 6 resuelve ambas ecuaciones.
La distancia d entre el punto P con coordenadas (x 1 ,y 1 ) y Q con coordenadas (x 2 ,y 2 ) es
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Por lo tanto, la distancia del punto P desde el origen es \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Ejemplo: Encuentra la distancia entre los puntos (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Respuesta: La distancia entre dos puntos es de 5 unidades.
Ejemplo: Las coordenadas de los vértices de un lado de un cuadrado son (1, 2) y (3, 8). ¿Cuál es su área?
La longitud del lado es
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
El área de un cuadrado es S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Respuesta: El área del cuadrado es 40 unidades cuadradas.
