معادله خطی معادله ای است که نمودار آن یک خط مستقیم است . معادله ای به شکل \(ax + by + c = 0\) که در آن a, b, c اعداد واقعی هستند و a ≠ 0, b ≠ 0 یک معادله خطی کلی در دو متغیر x و y است. برای مثال، 5x + 2y = 4، \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) معادلات خطی در x و y هستند.
مراحل زیر را برای ترسیم نمودار معادله خطی در دو متغیر دنبال کنید:
1. معادله ای بنویسید که یک متغیر را بر حسب دیگری نشان دهد. برای مثال، معادله 5x + y = 14 را می توان به صورت y = 14-5x نوشت.
2. حداقل سه مجموعه از مقادیر را برای این متغیرها پیدا کنید. در معادله بالا مجموعه ای از مقادیر x و y را بیابید.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | -1 |
جفت های مرتب شده: (1، 9)، (2، 4)، (3، -1)
3. محور x و y را رسم کنید و مقیاس خود را برای رسم این سه نقطه در نمودار مشخص کنید.
4. به این سه نقطه بپیوندید (1، 9)، (2، 4)، (3، -1)
5. با عبور از آنها یک خط مستقیم خواهید داشت.
نمودار معادله درجه اول فقط در یک کمیت مجهول y = k خط موازی با محور x در فاصله k واحد از آن است. به طور مشابه، معادله x = k خط موازی با محور y در فاصله k واحد برای آن است.
مثال: نمودار زیر x = 3 و y = 5 را نشان می دهد. برای معادله x = 3، مقدار x برای هر مقدار y 3 است، به طور مشابه برای معادله y = 5، مقدار y برای هر مقدار x 5 است.
به مجموعه معادلات دارای دو یا چند متغیر که تعداد معادلات آنها با تعداد متغیرها یکسان باشد ، سیستم معادلات نامیده می شود. معادلاتی که بیش از یک مجهول دارند می توانند بی نهایت جواب داشته باشند. به عنوان مثال، x + y = 20 می تواند برای بسیاری از جفت های x و y صادق باشد. مانند (1) x = 10، y = 10 (2) x = 12، y = 8 (3) x = 13، y = 7 و غیره.
اگر معادله دیگری در کنار آن استفاده شود، می توان تنها جفت مقادیری را یافت که هر دو معادله را همزمان حل می کند. این معادلات به عنوان معادلات همزمان شناخته می شوند. به عبارت دیگر :
دو معادله ای که نمودار آنها در نقطه ای به نام یک جفت اعداد مرتب که هر دو معادله را برآورده می کند قطع می شوند ، معادلات همزمان نامیده می شوند.
مختصات نقطه تقاطع جواب مشترک دو معادله خطی داده شده را می دهد. بیایید ببینیم که چگونه می توان مقادیر متغیر مجهول را به صورت گرافیکی با استفاده از دو معادله خطی پیدا کرد.
مثال: حل گرافیکی 2x − y = 6، x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| y | 11 | 10 | 12 | 5 |
این نقاط را رسم کنید و آنها را به هم وصل کنید تا یک خط مستقیم که معادله را نشان می دهد به دست آورید.
مختصات نقطه تقاطع را بخوانید. در اینجا آنها (6،6) هستند، بنابراین x = 6، y = 6 هر دو معادله را حل می کند.
فاصله d بین نقطه P با مختصات (x 1 ,y 1 ) و Q با مختصات (x 2 ,y 2 ) برابر است با
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
بنابراین فاصله نقطه P از مبدا \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) است.
مثال: فاصله بین نقاط (7، 9)، (4، 5) را بیابید.
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
پاسخ: فاصله بین دو نقطه 5 واحد است.
مثال: مختصات رئوس ضلع مربع (1، 2) و (3، 8) است. مساحت آن چقدر است؟
طول ضلع است
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
مساحت مربع S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\) است.
جواب: مساحت مربع 40 واحد مربع است.
