Une équation linéaire est une équation dont le graphe est une droite . Une équation de la forme \(ax + by + c = 0\) , où a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0, b ≠ 0 est une équation linéaire générale à deux variables x et y. Par exemple, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) sont des équations linéaires en x et y.
Suivez les étapes ci-dessous pour représenter graphiquement l’équation linéaire à deux variables :
1. Écrivez une équation sous forme de représentation d'une variable par rapport à l'autre. Par exemple, l'équation 5x + y = 14 peut s'écrire y = 14 − 5x
2. Trouvez au moins trois ensembles de valeurs pour ces variables. Dans l'équation ci-dessus, trouvez un ensemble de valeurs pour x et y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | -1 |
Paires ordonnées : (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Dessinez les axes x et y et définissez votre échelle pour tracer ces trois points dans le graphique.
4. Joignez ces trois points (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Vous obtiendrez une ligne droite qui les traverse.
Le graphique de l'équation du premier degré à une seule inconnue y = k est la droite parallèle à l'axe des x à une distance de k unités de celui-ci. De même, l'équation x = k est la droite parallèle à l'axe des y à une distance de k unités de celui-ci.
Exemple : Le graphique ci-dessous représente x = 3 et y = 5. Pour l'équation x = 3, la valeur de x est 3 pour toute valeur de y, de même pour l'équation y = 5, la valeur de y est 5 pour toute valeur de x.
Un ensemble d'équations à deux variables ou plus dans lequel le nombre d'équations est le même que le nombre de variables est appelé un système d'équations. Les équations qui ont plus d'une inconnue peuvent avoir un nombre infini de solutions. Par exemple, x + y = 20 peut être vrai pour de nombreuses paires de x et y. Comme (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 etc.
Si une autre équation est utilisée parallèlement, il est possible de trouver la seule paire de valeurs qui résolvent les deux équations en même temps. On parle alors d' équations simultanées . En d'autres termes :
Deux équations dont les graphiques se croisent en un point nommé par une paire ordonnée de nombres qui satisfait les deux équations sont appelées équations simultanées.
Les coordonnées du point d'intersection donnent la solution commune des deux équations linéaires données. Voyons comment trouver graphiquement les valeurs des variables inconnues à l'aide de deux équations linéaires.
Exemple : Résoudre graphiquement 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| y | 11 | 10 | 12 | 5 |
Tracez ces points et joignez-les pour obtenir une ligne droite représentant l'équation.
Lire les coordonnées du point d'intersection. Les voici (6,6), donc x = 6, y = 6 résout les deux équations.
La distance d entre le point P de coordonnées (x 1 ,y 1 ) et Q de coordonnées (x 2 ,y 2 ) est
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Par conséquent, la distance du point P à l'origine est \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Exemple : Trouver la distance entre les points (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Réponse : La distance entre deux points est de 5 unités.
Exemple : Les coordonnées des sommets d'un côté d'un carré sont (1, 2) et (3, 8). Quelle est son aire ?
La longueur du côté est
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
L'aire d'un carré est S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Réponse : L’aire du carré est de 40 unités carrées.
