रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसका ग्राफ एक सीधी रेखा है। \(ax + by + c = 0\) के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0, b ≠ 0 दो चर x और y में एक सामान्य रैखिक समीकरण है। उदाहरण के लिए, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) x और y में रैखिक समीकरण हैं।
दो चरों में रैखिक समीकरण का ग्राफ बनाने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:
1. एक चर को दूसरे के संदर्भ में दर्शाने वाले समीकरण को लिखें। उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + y = 14 को y = 14 − 5x के रूप में लिखा जा सकता है।
2. इन चरों के लिए कम से कम तीन मान सेट ज्ञात करें। उपरोक्त समीकरण में x और y के लिए मान सेट ज्ञात करें।
| एक्स | 1 | 2 | 3 |
| और | 9 | 4 | -1 |
क्रमित युग्म: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. x और y-अक्ष बनाएं और इन तीन बिंदुओं को ग्राफ में अंकित करने के लिए अपना पैमाना निर्धारित करें।
4. इन तीन बिंदुओं (1, 9), (2, 4), (3, -1) को मिलाएं
5. आपको उनके बीच से गुजरती हुई एक सीधी रेखा मिलेगी।
केवल एक अज्ञात राशि y = k में प्रथम-डिग्री समीकरण का ग्राफ x-अक्ष के समानांतर रेखा है जो उससे k इकाइयों की दूरी पर है। इसी तरह, समीकरण x = k इसके लिए y-अक्ष के समानांतर रेखा है जो k इकाइयों की दूरी पर है।
उदाहरण: नीचे दिया गया ग्राफ x = 3 और y = 5 को दर्शाता है। समीकरण x = 3 के लिए, y के किसी भी मान के लिए x का मान 3 है, इसी तरह समीकरण y = 5 के लिए, x के किसी भी मान के लिए y का मान 5 है।
दो या दो से अधिक चरों वाले समीकरणों का समूह जिसमें समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के समान होती है , समीकरणों की प्रणाली कहलाती है। जिन समीकरणों में एक से अधिक अज्ञात होते हैं, उनके अनंत समाधान हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, x + y = 20, x और y के कई युग्मों के लिए सत्य हो सकता है। जैसे (1) x =10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 आदि।
यदि इसके साथ कोई अन्य समीकरण प्रयोग किया जाए, तो मानों का एकमात्र ऐसा युग्म ज्ञात करना संभव है जो दोनों समीकरणों को एक ही समय में हल करता हो। इन्हें युगपत समीकरण कहते हैं। दूसरे शब्दों में :
दो समीकरण जिनके ग्राफ संख्याओं के एक क्रमित युग्म द्वारा निर्दिष्ट एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है , युगपत समीकरण कहलाते हैं।
प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक दो दिए गए रैखिक समीकरणों का सामान्य हल देते हैं। आइए देखें कि दो रैखिक समीकरणों का उपयोग करके अज्ञात चर मानों को ग्राफ़िक रूप से कैसे ज्ञात किया जाए।
उदाहरण: ग्राफ़िक रूप से हल करें 2x − y = 6, x + y = 12
| एक्स | 1 | 2 | 4 | 7 |
| और | -4 | -2 | 2 | 8 |
| एक्स | 1 | 2 | 0 | 7 |
| और | 11 | 10 | 12 | 5 |
इन बिंदुओं को अंकित करें और उन्हें मिलाकर समीकरण को दर्शाने वाली एक सीधी रेखा बनाएं।
प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक पढ़ें। यहाँ वे (6,6) हैं, इसलिए x = 6, y = 6 दोनों समीकरण हल करता है।
निर्देशांक (x 1 ,y 1 ) वाले बिंदु P और निर्देशांक (x 2 ,y 2 ) वाले बिंदु Q के बीच की दूरी d है
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
इसलिए मूल बिंदु से बिंदु P की दूरी \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) है।
उदाहरण: बिंदुओं (7, 9), (4, 5) के बीच की दूरी ज्ञात करें
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
उत्तर: दो बिंदुओं के बीच की दूरी 5 इकाई है।
उदाहरण: एक वर्ग की भुजा के शीर्षों के निर्देशांक (1, 2) और (3, 8) हैं। इसका क्षेत्रफल क्या है?
भुजा की लंबाई क्या है
?
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
एक वर्ग का क्षेत्रफल S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल 40 वर्ग इकाई है।
