Linearna jednadžba je jednadžba čiji je graf ravna linija . Jednadžba oblika \(ax + by + c = 0\) , gdje su a, b, c realni brojevi i a ≠ 0, b ≠ 0 je opća linearna jednadžba u dvije varijable x i y. Na primjer, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) su linearne jednadžbe u x i y.
Slijedite korake u nastavku da biste nacrtali linearnu jednadžbu u dvije varijable:
1. Napišite jednadžbu u obliku prikazivanja jedne varijable u odnosu na drugu. Na primjer, jednadžba 5x + y = 14 može se napisati kao y = 14 − 5x
2. Pronađite najmanje tri skupa vrijednosti za ove varijable. U gornjoj jednadžbi pronađite skup vrijednosti za x i y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | -1 |
Poredani parovi: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Nacrtajte x i y-os i definirajte svoje mjerilo za iscrtavanje ove tri točke na grafikonu.
4. Spojite ove tri točke (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Dobit ćete ravnu liniju koja prolazi kroz njih.
Graf jednadžbe prvog stupnja u samo jednoj nepoznatoj veličini y = k je pravac paralelan s osi x na udaljenosti od k jedinica od nje. Slično, jednadžba x = k je linija paralelna s y-osi na udaljenosti od k jedinica za nju.
Primjer: Grafikon ispod predstavlja x = 3 i y = 5. Za jednadžbu x = 3, vrijednost x je 3 za bilo koju vrijednost y, slično za jednadžbu y = 5, vrijednost y je 5 za bilo koju vrijednost x.
Skup jednadžbi s dvije ili više varijabli u kojima je broj jednadžbi jednak broju varijabli naziva se sustav jednadžbi. Jednadžbe koje imaju više od jedne nepoznanice mogu imati beskonačan broj rješenja. Na primjer, x + y = 20 može biti istinito za mnogo parova x i y. Kao (1) x =10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 itd.
Ako se uz nju koristi još jedna jednadžba, moguće je pronaći jedini par vrijednosti koji rješava obje jednadžbe u isto vrijeme. One su poznate kao simultane jednadžbe . Drugim riječima :
Dvije jednadžbe čiji se grafovi sijeku u točki imenovanoj uređenim parom brojeva koji zadovoljava obje jednadžbe nazivamo simultanim jednadžbama.
Koordinate točke presjeka daju zajedničko rješenje dviju zadanih linearnih jednadžbi. Pogledajmo kako grafički pronaći vrijednosti nepoznate varijable koristeći dvije linearne jednadžbe.
Primjer: Riješite grafički 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| y | 11 | 10 | 12 | 5 |
Nacrtajte te točke i spojite ih kako biste dobili ravnu liniju koja predstavlja jednadžbu.
Očitajte koordinate točke presjeka. Ovdje su (6,6), stoga x = 6, y = 6 rješava obje jednadžbe.
Udaljenost d između točke P s koordinatama (x 1 ,y 1 ) i Q s koordinatama (x 2 ,y 2 ) je
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Stoga je udaljenost točke P od ishodišta \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Primjer: Pronađite udaljenost između točaka (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Odgovor: Udaljenost između dviju točaka je 5 jedinica.
Primjer: koordinate vrhova stranice kvadrata su (1, 2) i (3, 8). Kolika je njegova površina?
Duljina stranice je
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Površina kvadrata je S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Odgovor: Površina kvadrata je 40 kvadratnih jedinica.
