Un'equazione lineare è un'equazione il cui grafico è una linea retta . Un'equazione della forma \(ax + by + c = 0\) , dove a, b, c sono numeri reali e a ≠ 0, b ≠ 0 è un'equazione lineare generale in due variabili x e y. Ad esempio, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) sono equazioni lineari in x e y.
Per rappresentare graficamente l'equazione lineare in due variabili, seguire i passaggi sottostanti:
1. Scrivi un'equazione in forma di rappresentazione di una variabile in termini dell'altra. Ad esempio, l'equazione 5x + y = 14 può essere scritta come y = 14 − 5x
2. Trova almeno tre serie di valori per queste variabili. Nell'equazione precedente trova una serie di valori per x e y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| e | 9 | 4 | -1 |
Coppie ordinate: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Disegna gli assi x e y e definisci la scala per rappresentare questi tre punti nel grafico.
4. Unisci questi tre punti (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Otterrai una linea retta che li attraversa.
Grafico dell'equazione di primo grado in una sola quantità incognita y = k è la retta parallela all'asse x a una distanza di k unità da esso. Analogamente, l'equazione x = k è la retta parallela all'asse y a una distanza di k unità per esso.
Esempio: il grafico sottostante rappresenta x = 3 e y = 5. Per l'equazione x = 3, il valore di x è 3 per qualsiasi valore di y, analogamente per l'equazione y = 5, il valore di y è 5 per qualsiasi valore di x.
Un insieme di equazioni con due o più variabili in cui il numero di equazioni è uguale al numero di variabili è chiamato sistema di equazioni. Le equazioni che hanno più di un'incognita possono avere un numero infinito di soluzioni. Ad esempio, x + y = 20 può essere vero per molte coppie di x e y. Come (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 ecc.
Se si usa un'altra equazione accanto a questa, è possibile trovare l'unica coppia di valori che risolve entrambe le equazioni contemporaneamente. Queste sono note come equazioni simultanee . In altre parole :
Due equazioni i cui grafici si intersecano in un punto denominato da una coppia ordinata di numeri che soddisfa entrambe le equazioni sono dette equazioni simultanee.
Le coordinate del punto di intersezione danno la soluzione comune delle due equazioni lineari date. Vediamo come trovare graficamente i valori delle variabili sconosciute usando due equazioni lineari.
Esempio: Risolvere graficamente 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| e | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| e | 11 | 10 | 12 | 5 |
Rappresenta questi punti e uniscili per ottenere una linea retta che rappresenti l'equazione.
Leggi le coordinate del punto di intersezione. Eccole (6,6), quindi x = 6, y = 6 risolve entrambe le equazioni.
La distanza d tra il punto P con coordinate (x 1 ,y 1 ) e Q con coordinate (x 2 ,y 2 ) è
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Pertanto la distanza del punto P dall'origine è \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Esempio: Trova la distanza tra i punti (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Risposta: la distanza tra due punti è 5 unità.
Esempio: Le coordinate dei vertici di un lato di un quadrato sono (1, 2) e (3, 8). Qual è la sua area?
La lunghezza del lato è
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
L'area di un quadrato è S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Risposta: L'area del quadrato è 40 unità quadrate.
