線形方程式は、グラフが直線になる方程式です。 \(ax + by + c = 0\)という形式の方程式（a、b、c は実数、a ≠ 0、b ≠ 0）は、2 つの変数 x と y に関する一般的な線形方程式です。たとえば、5x + 2y = 4、 \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) x と y に関する線形方程式です。
2 つの変数の線形方程式をグラフ化するには、以下の手順に従います。
1. 1つの変数を他の変数で表す形で方程式を書きます。たとえば、方程式5x + y = 14は、y = 14 − 5xと書くことができます。
2. これらの変数の値のセットを少なくとも 3 つ見つけます。上記の式で、x と y の値のセットを見つけます。
| x | 1 | 2 | 3 |
| 年 | 9 | 4 | -1 |
順序付きペア: (1, 9)、(2, 4)、(3, -1)
3. x 軸と y 軸を描画し、スケールを定義して、グラフにこれらの 3 つのポイントをプロットします。
4. これら3点(1, 9)、(2, 4)、(3, -1)を結びます。
5. それらを通過する直線が得られます。
1 つの未知数のみを含む一次方程式のグラフ y = k は、x 軸から k 単位の距離にある x 軸に平行な直線です。同様に、方程式 x = k は、y 軸から k 単位の距離にある y 軸に平行な直線です。
例: 下のグラフは x = 3 と y = 5 を表しています。方程式 x = 3 の場合、y の値が何であっても x の値は 3 になります。同様に、方程式 y = 5 の場合、x の値が何であっても y の値は 5 になります。
2 つ以上の変数を持つ方程式のセットで、方程式の数が変数の数と同じであるものを方程式系と呼びます。未知数が 1 つ以上ある方程式には、無限の数の解があります。 たとえば、x + y = 20 は、x と y の多くのペアに対して成り立ちます。 (1) x =10、y = 10 (2) x = 12、y = 8 (3) x = 13、y = 7 などです。
別の方程式を併用すると、両方の方程式を同時に解く唯一の値のペアを見つけることができます。これらは同時方程式として知られています。言い換えると、
両方の方程式を満たす 1 組の数値で指定された点でグラフが交差する 2 つの方程式を同時方程式と呼びます。
交点の座標は、与えられた 2 つの線形方程式の共通解を与えます。2 つの線形方程式を使用して、未知の変数の値をグラフィカルに見つける方法を見てみましょう。
例: 2x − y = 6、x + y = 12をグラフで解く
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| 年 | 11 | 10 | 12 | 5 |
これらの点をプロットして結合すると、方程式を表す直線が得られます。
交点の座標を読み取ります。ここでは (6,6) なので、x = 6、y = 6 で両方の方程式が解けます。
座標(x 1 ,y 1 )の点Pと座標(x 2 ,y 2 )の点Qの間の距離dは
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
したがって、点Pから原点までの距離\(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)です。
例:点 (7, 9)、(4, 5) 間の距離を求める
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
答え: 2 点間の距離は 5 単位です。
例:正方形の辺の頂点の座標は (1, 2) と (3, 8) です。その面積はいくらでしょうか?
辺の長さは
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
正方形の面積は S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)です。
答え: 正方形の面積は 40 平方単位です。
