Een lineaire vergelijking is een vergelijking waarvan de grafiek een rechte lijn is . Een vergelijking van de vorm \(ax + by + c = 0\) , waarbij a, b, c reële getallen zijn en a ≠ 0, b ≠ 0 is een algemene lineaire vergelijking in twee variabelen x en y. Bijvoorbeeld, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) zijn lineaire vergelijkingen in x en y.
Volg de onderstaande stappen om de lineaire vergelijking in twee variabelen grafisch weer te geven:
1. Schrijf een vergelijking in de vorm van het weergeven van één variabele in termen van de andere. Bijvoorbeeld, vergelijking 5x + y = 14 kan worden geschreven als y = 14 − 5x
2. Vind ten minste drie sets van waarden voor deze variabelen. Vind in de bovenstaande vergelijking een set van waarden voor x en y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| en | 9 | 4 | -1 |
Geordende paren: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Teken de x- en y-as en bepaal de schaal om deze drie punten in de grafiek weer te geven.
4. Verbind deze drie punten (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Er zal een rechte lijn doorheen gaan.
Grafiek van de eerstegraadsvergelijking in slechts één onbekende grootheid y = k is de lijn evenwijdig aan de x-as op een afstand van k eenheden ervan. Vergelijkbaar is vergelijking x = k de lijn evenwijdig aan de y-as op een afstand van k eenheden ervan.
Voorbeeld: De onderstaande grafiek geeft x = 3 en y = 5 weer. Voor vergelijking x = 3 is de waarde van x 3 voor elke waarde van y, en voor vergelijking y = 5 is de waarde van y 5 voor elke waarde van x.
Een stelsel vergelijkingen met twee of meer variabelen waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal variabelen, wordt een stelsel vergelijkingen genoemd. Vergelijkingen met meer dan één onbekende kunnen oneindig veel oplossingen hebben. Bijvoorbeeld, x + y = 20 kan waar zijn voor veel paren van x en y. Zoals (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 etc.
Als er een andere vergelijking naast wordt gebruikt, is het mogelijk om het enige paar waarden te vinden dat beide vergelijkingen tegelijkertijd oplost. Deze staan bekend als simultane vergelijkingen . Met andere woorden :
Twee vergelijkingen waarvan de grafieken elkaar snijden in een punt dat wordt benoemd door een geordend paar getallen dat aan beide vergelijkingen voldoet, worden simultane vergelijkingen genoemd.
De coördinaten van het snijpunt geven de gemeenschappelijke oplossing van de twee gegeven lineaire vergelijkingen. Laten we eens kijken hoe we de onbekende variabelewaarden grafisch kunnen vinden met behulp van twee lineaire vergelijkingen.
Voorbeeld: Los grafisch op 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| j | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| en | 11 | 10 | 12 | 5 |
Teken deze punten en verbind ze om een rechte lijn te krijgen die de vergelijking weergeeft.
Lees de coördinaten van het snijpunt. Hier zijn ze (6,6), dus x = 6, y = 6 lost beide vergelijkingen op.
De afstand d tussen het punt P met coördinaten (x 1 , y 1 ) en Q met coördinaten (x 2 , y 2 ) is
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
De afstand van het punt P tot de oorsprong is dus \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Voorbeeld: Vind de afstand tussen de punten (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Antwoord: De afstand tussen twee punten is 5 eenheden.
Voorbeeld: De coördinaten van de hoekpunten van een zijde van een vierkant zijn (1, 2) en (3, 8). Wat is de oppervlakte?
De lengte van de zijde is
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
De oppervlakte van een vierkant is S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Antwoord: De oppervlakte van het vierkant is 40 vierkante eenheden.
