Równanie liniowe to równanie, którego wykresem jest linia prosta . Równanie postaci \(ax + by + c = 0\) , gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0, b ≠ 0, jest ogólnym równaniem liniowym dla dwóch zmiennych x i y. Na przykład, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) to równania liniowe dla x i y.
Aby narysować wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi, wykonaj poniższe kroki:
1. Napisz równanie w formie pokazującej jedną zmienną w odniesieniu do drugiej. Na przykład równanie 5x + y = 14 można zapisać jako y = 14 − 5x
2. Znajdź co najmniej trzy zestawy wartości dla tych zmiennych. W powyższym równaniu znajdź zestaw wartości dla x i y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| i | 9 | 4 | -1 |
Pary uporządkowane: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Narysuj oś x i y i określ skalę, aby umieścić te trzy punkty na wykresie.
4. Połącz te trzy punkty (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Powstanie prosta linia przechodząca przez nie.
Wykres równania pierwszego stopnia tylko dla jednej nieznanej wielkości y = k jest linią równoległą do osi x w odległości k jednostek od niej. Podobnie, równanie x = k jest linią równoległą do osi y w odległości k jednostek od niej.
Przykład: Poniższy wykres przedstawia x = 3 i y = 5. W równaniu x = 3, wartość x wynosi 3 dla dowolnej wartości y, podobnie w równaniu y = 5, wartość y wynosi 5 dla dowolnej wartości x.
Zestaw równań z dwiema lub więcej zmiennymi, w którym liczba równań jest taka sama jak liczba zmiennych, nazywa się układem równań. Równania, które mają więcej niż jedną niewiadomą, mogą mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Na przykład x + y = 20 może być prawdziwe dla wielu par x i y. Na przykład (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 itd.
Jeśli użyje się innego równania obok niego, możliwe jest znalezienie jedynej pary wartości, która rozwiązuje oba równania w tym samym czasie. Są one znane jako równania jednoczesne . Innymi słowy :
Dwa równania, których wykresy przecinają się w punkcie nazwanym przez uporządkowaną parę liczb spełniającą oba równania, nazywa się równaniami jednoczesnymi.
Współrzędne punktu przecięcia dają wspólne rozwiązanie dwóch podanych równań liniowych. Zobaczmy, jak graficznie znaleźć wartości nieznanych zmiennych, używając dwóch równań liniowych.
Przykład: Rozwiąż graficznie równanie 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| r | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x1 | 2 | 0 | 7 | i |
| 11 | 10 | 12 | 5 | |
Zaznacz te punkty i połącz je, aby uzyskać linię prostą przedstawiającą równanie.
Odczytaj współrzędne punktu przecięcia. Oto one (6,6), zatem x = 6, y = 6 rozwiązuje oba równania.
Odległość d między punktem P o współrzędnych (x 1 ,y 1 ) i Q o współrzędnych (x 2 ,y 2 ) wynosi
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Zatem odległość punktu P od początku wynosi \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Przykład: Znajdź odległość między punktami (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Odpowiedź: Odległość między dwoma punktami wynosi 5 jednostek.
Przykład: Współrzędne wierzchołków boku kwadratu to (1, 2) i (3, 8). Jakie jest jego pole?
Długość boku wynosi
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Pole kwadratu wynosi S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Odpowiedź: Pole kwadratu wynosi 40 jednostek kwadratowych.
