Линейное уравнение — это уравнение, графиком которого является прямая линия . Уравнение вида \(ax + by + c = 0\) , где a, b, c — действительные числа и a ≠ 0, b ≠ 0 — это общее линейное уравнение относительно двух переменных x и y. Например, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) — это линейные уравнения относительно x и y.
Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными, выполните следующие шаги:
1. Запишите уравнение в форме, показывающей одну переменную через другую. Например, уравнение 5x + y = 14 можно записать как y = 14 − 5x
2. Найдите не менее трех наборов значений для этих переменных. В приведенном выше уравнении найдите набор значений для x и y.
| х | 1 | 2 | 3 |
| г | 9 | 4 | -1 |
Упорядоченные пары: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Начертите оси x и y и определите масштаб, чтобы отобразить эти три точки на графике.
4. Соединим эти три точки (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Вы получите прямую линию, проходящую через них.
График уравнения первой степени с одной неизвестной величиной y = k — это прямая, параллельная оси x на расстоянии k единиц от нее. Аналогично, уравнение x = k — это прямая, параллельная оси y на расстоянии k единиц от нее.
Пример: На графике ниже представлены x = 3 и y = 5. Для уравнения x = 3 значение x равно 3 для любого значения y, аналогично для уравнения y = 5 значение y равно 5 для любого значения x.
Набор уравнений с двумя или более переменными, в котором число уравнений совпадает с числом переменных, называется системой уравнений. Уравнения, имеющие более одного неизвестного, могут иметь бесконечное число решений. Например, x + y = 20 может быть верным для многих пар x и y. Например, (1) x =10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 и т. д.
Если рядом с ним используется другое уравнение, можно найти единственную пару значений, которая решает оба уравнения одновременно. Они известны как одновременные уравнения . Другими словами :
Два уравнения, графики которых пересекаются в точке, названной упорядоченной парой чисел, удовлетворяющей обоим уравнениям, называются одновременными уравнениями.
Координаты точки пересечения дают общее решение двух заданных линейных уравнений. Давайте посмотрим, как графически найти значения неизвестных переменных с помощью двух линейных уравнений.
Пример: Решить графически 2x − y = 6, x + y = 12
| х | 1 | 2 | 4 | 7 |
| г | -4 | -2 | 2 | 8 |
| х | 1 | 2 | 0 | 7 |
| г | 11 | 10 | 12 | 5 |
Нанесите эти точки на график и соедините их, чтобы получить прямую линию, представляющую уравнение.
Прочитайте координаты точки пересечения. Вот они (6,6), поэтому x = 6, y = 6 решает оба уравнения.
Расстояние d между точкой P с координатами (x 1 ,y 1 ) и Q с координатами (x 2 ,y 2 ) равно
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Следовательно, расстояние точки P от начала координат равно \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Пример: Найдите расстояние между точками (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Ответ: Расстояние между двумя точками равно 5 единицам.
Пример: Координаты вершин стороны квадрата (1, 2) и (3, 8). Какова его площадь?
Длина стороны равна
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Площадь квадрата равна S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Ответ: Площадь квадрата составляет 40 квадратных единиц.
