En linjär ekvation är en ekvation vars graf är en rät linje . En ekvation av formen \(ax + by + c = 0\) , där a, b, c är reella tal och a ≠ 0, b ≠ 0 är en generell linjär ekvation i två variabler x och y. Till exempel, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) är linjära ekvationer i x och y.
Följ stegen nedan för att plotta den linjära ekvationen i två variabler:
1. Skriv en ekvation i form av att visa en variabel i termer av den andra. Till exempel kan ekvation 5x + y = 14 skrivas som y = 14 − 5x
2. Hitta minst tre uppsättningar värden för dessa variabler. I ovanstående ekvation hitta en uppsättning värden för x och y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | -1 |
Beställda par: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Rita x- och y-axeln och definiera din skala för att plotta dessa tre punkter i grafen.
4. Sammanfoga dessa tre punkter (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Du kommer att få en rak linje som går genom dem.
Grafen av förstagradsekvationen i endast en okänd storhet y = k är linjen parallell med x-axeln på ett avstånd av k enheter från den. På liknande sätt är ekvationen x = k linjen parallell med y-axeln på ett avstånd av k enheter för den.
Exempel: Grafen nedan representerar x = 3 och y = 5. För ekvation x = 3 är värdet på x 3 för vilket värde på y som helst, på samma sätt för ekvation y = 5 är värdet på y 5 för alla värden på x.
Uppsättning ekvationer med två eller flera variabler där antalet ekvationer är detsamma som antalet variabler kallas ett ekvationssystem. Ekvationer som har mer än en okänd kan ha ett oändligt antal lösningar. Till exempel kan x + y = 20 vara sant för många par av x och y. Som (1) x =10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 osv.
Om en annan ekvation används bredvid den är det möjligt att hitta det enda värdeparet som löser båda ekvationerna samtidigt. Dessa är kända som simultanekvationer . Med andra ord :
Två ekvationer vars grafer skär varandra i en punkt som namnges av ett ordnat talpar som uppfyller båda ekvationerna kallas samtidiga ekvationer.
Koordinaterna för skärningspunkten ger den gemensamma lösningen av de två givna linjära ekvationerna. Låt oss se hur man hittar de okända variabelvärdena grafiskt med hjälp av två linjära ekvationer.
Exempel: Lös grafiskt 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| y | 11 | 10 | 12 | 5 |
Rita dessa punkter och sammanfoga dem för att få en rät linje som representerar ekvationen.
Läs koordinaterna för skärningspunkten. Här är de (6,6), därför löser x = 6, y = 6 båda ekvationerna.
Avståndet d mellan punkten P med koordinater (x 1 ,y 1 ) och Q med koordinater (x 2 ,y 2 ) är
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Därför är avståndet för punkten P från origo \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Exempel: Hitta avståndet mellan punkter (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Svar: Avståndet mellan två punkter är 5 enheter.
Exempel: Koordinaterna för hörnen på en sida av en kvadrat är (1, 2) och (3, 8). Vad är dess område?
Längden på sidan är
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Arean av en kvadrat är S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Svar: Torgets yta är 40 kvadratenheter.
