Лінійне рівняння — це рівняння, графіком якого є пряма лінія . Рівняння виду \(ax + by + c = 0\) , де a, b, c — дійсні числа, а a ≠ 0, b ≠ 0 — загальне лінійне рівняння з двома змінними x і y. Наприклад, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) є лінійними рівняннями щодо x і y.
Виконайте наведені нижче дії, щоб побудувати графік лінійного рівняння з двома змінними:
1. Напишіть рівняння у вигляді відображення однієї змінної через іншу. Наприклад, рівняння 5x + y = 14 можна записати як y = 14 − 5x
2. Знайдіть принаймні три набори значень для цих змінних. У наведеному вище рівнянні знайдіть набір значень для x і y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | -1 |
Упорядковані пари: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Накресліть вісь x і y та визначте масштаб, щоб побудувати ці три точки на графіку.
4. З’єднайте ці три точки (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Через них вийде пряма лінія.
Графіком рівняння першого ступеня лише для однієї невідомої величини y = k є пряма, паралельна осі х на відстані k одиниць від неї. Подібним чином рівняння x = k є лінією, паралельною осі y на відстані k одиниць для нього.
Приклад: на графіку нижче показано x = 3 і y = 5. Для рівняння x = 3 значення x дорівнює 3 для будь-якого значення y, так само для рівняння y = 5 значення y дорівнює 5 для будь-якого значення x.
Система рівнянь з двома або більше змінними, в якій кількість рівнянь дорівнює числу змінних, називається системою рівнянь. Рівняння, які мають більше одного невідомого, можуть мати нескінченну кількість розв’язків. Наприклад, x + y = 20 може бути вірним для багатьох пар x і y. Подібно до (1) x =10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 тощо.
Якщо поряд із ним використовується інше рівняння, можна знайти єдину пару значень, які розв’язують обидва рівняння одночасно. Вони відомі як одночасні рівняння . Іншими словами :
Два рівняння, графіки яких перетинаються в точці, названій упорядкованою парою чисел, яка задовольняє обидва рівняння, називають одночасними рівняннями.
Координати точки перетину дають спільний розв’язок двох заданих лінійних рівнянь. Давайте подивимося, як графічно знайти значення невідомої змінної за допомогою двох лінійних рівнянь.
Приклад: Розв’яжіть графічно 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| y | 11 | 10 | 12 | 5 |
Нанесіть ці точки та з’єднайте їх, щоб отримати пряму лінію, що представляє рівняння.
Прочитайте координати точки перетину. Ось вони (6,6), тому x = 6, y = 6 є розв’язком обох рівнянь.
Відстань d між точкою P з координатами (x 1 ,y 1 ) і Q з координатами (x 2 ,y 2 ) дорівнює
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Тому відстань точки P від початку координат дорівнює \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Приклад: знайти відстань між точками (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Відповідь: відстань між двома точками дорівнює 5 одиниць.
Приклад: координати вершин сторони квадрата дорівнюють (1, 2) і (3, 8). Яка його площа?
Довжина сторони становить
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Площа квадрата S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Відповідь: площа квадрата дорівнює 40 квадратних одиниць.
