Phương trình tuyến tính là phương trình có đồ thị là đường thẳng . Phương trình có dạng \(ax + by + c = 0\) , trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0, b ≠ 0 là phương trình tuyến tính tổng quát với hai biến x và y. Ví dụ, 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) là phương trình tuyến tính theo x và y.
Thực hiện theo các bước dưới đây để vẽ đồ thị phương trình tuyến tính có hai biến:
1. Viết một phương trình dưới dạng biểu diễn một biến theo biến kia. Ví dụ, phương trình 5x + y = 14 có thể được viết thành y = 14 − 5x
2. Tìm ít nhất ba tập giá trị cho các biến này. Trong phương trình trên, hãy tìm một tập giá trị cho x và y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| và | 9 | 4 | -1 |
Các cặp có thứ tự: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Vẽ trục x và trục y và xác định tỷ lệ để biểu diễn ba điểm này trên đồ thị.
4. Nối ba điểm (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Bạn sẽ có một đường thẳng đi qua chúng.
Đồ thị của phương trình bậc nhất chỉ có một ẩn số y = k là đường thẳng song song với trục x và cách trục này một khoảng k đơn vị. Tương tự, phương trình x = k là đường thẳng song song với trục y và cách trục này một khoảng k đơn vị.
Ví dụ: Đồ thị bên dưới biểu diễn x = 3 và y = 5. Đối với phương trình x = 3, giá trị của x là 3 với mọi giá trị của y, tương tự đối với phương trình y = 5, giá trị của y là 5 với mọi giá trị của x.
Hệ phương trình có hai hay nhiều biến trong đó số phương trình bằng số biến được gọi là hệ phương trình. Phương trình có nhiều hơn một ẩn số có thể có vô số nghiệm. Ví dụ, x + y = 20 có thể đúng với nhiều cặp x và y. Giống như (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 v.v.
Nếu một phương trình khác được sử dụng cùng với nó, có thể tìm thấy cặp giá trị duy nhất giải quyết cả hai phương trình cùng một lúc. Chúng được gọi là phương trình đồng thời . Nói cách khác :
Hai phương trình có đồ thị cắt nhau tại một điểm được đặt tên theo cặp số có thứ tự thỏa mãn cả hai phương trình được gọi là hai phương trình đồng thời.
Tọa độ của điểm giao nhau đưa ra nghiệm chung của hai phương trình tuyến tính đã cho. Chúng ta hãy xem cách tìm giá trị biến chưa biết bằng đồ họa sử dụng hai phương trình tuyến tính.
Ví dụ: Giải bằng đồ thị 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| và | 11 | 10 | 12 | 5 |
Vẽ các điểm này và nối chúng lại để có được đường thẳng biểu diễn phương trình.
Đọc tọa độ của điểm giao nhau. Chúng ở đây là (6,6), do đó x = 6, y = 6 giải quyết cả hai phương trình.
Khoảng cách d giữa điểm P có tọa độ (x 1 ,y 1 ) và Q có tọa độ (x 2 ,y 2 ) là
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Do đó khoảng cách từ điểm P đến gốc tọa độ là \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa các điểm (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Trả lời: Khoảng cách giữa hai điểm là 5 đơn vị.
Ví dụ: Tọa độ các đỉnh của một cạnh hình vuông là (1, 2) và (3, 8). Diện tích của nó là bao nhiêu?
Độ dài của cạnh là
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Diện tích hình vuông là S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Trả lời: Diện tích hình vuông là 40 đơn vị vuông.
