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bereich, umfang

In dieser Lektion lernen Sie:

• Umfang zweidimensionaler Figuren.
• Bereich zweidimensionaler Figuren.
• So ermitteln Sie den Umfang und die Fläche eines nicht standardmäßigen Polygons.

Umfang und Fläche helfen dabei, den physischen Raum zweidimensionaler Figuren zu quantifizieren. Das Wissen über Fläche und Umfang wird von Menschen täglich praktisch angewendet, beispielsweise von Architekten, Ingenieuren und Grafikdesignern.

Der Umfang einer Form ist als Gesamtentfernung um die Form definiert. Im Grunde ist es die Länge einer beliebigen Form, wenn sie linear ausgedehnt wird. Der Umfang verschiedener Formen kann je nach Größe in der Länge zueinander passen. Wenn beispielsweise ein Kreis aus einem Metalldraht der Länge L besteht, können wir denselben Draht verwenden, um ein Quadrat zu konstruieren, dessen Seiten gleich lang sind. Für Figuren mit geraden Seiten wie Dreiecke, Rechtecke, Quadrate oder Polygone; Der Umfang ist die Summe der Längen aller Seiten. Einige Beispiele aus der Praxis, wo wir Perimeter benötigen:

• Länge des Randes einer Steppdecke oder Decke.
• Länge des Seils, das zum Umzäunen eines Parks oder einer Farm benötigt wird.
• Länge des Rahmens, der für ein Bild benötigt wird

Nehmen wir als Beispiel die Anbringung eines Zauns um Ihren Garten, um ihn vor Tieren und Dieben zu schützen.

Messen Sie die Länge der Grenze Ihres Gartens. Hier sind es 15 Meter + 10 Meter + 15 Meter + 10 Meter = 50 Meter. Um den Garten einzuzäunen, müssen Sie einen 50 Meter langen Draht kaufen. Der Umfang dieses Gartens beträgt 50 Meter.

Sie messen den Umfang in linearen Einheiten , die eindimensional sind. Beispiele für Maßeinheiten für den Umfang sind Zoll, Zentimeter, Meter oder Fuß.

Beispiel 1: Ermitteln Sie den Umfang der angegebenen Figur. Alle Maße sind in Zoll angegeben.

Antwort: 21 + 15 + 3 + 7 = 46 Zoll

Der Umfang eines Kreises wird Umfang genannt.

Bereich

Die Fläche einer zweidimensionalen Figur beschreibt die Fläche, die die Form einnimmt. Wir messen die Fläche in Quadrateinheiten einer festen Größe. Beispielsweise können Sie auf zwei Blättern mehr schreiben als auf einem einzelnen Blatt, da dieses über die doppelte Fläche eines einzelnen Blattes und damit doppelt so viel Platz zum Schreiben verfügt. Beispiele für quadratische Maßeinheiten sind Quadratzoll, Quadratzentimeter oder Quadratmeilen.

Einige reale Situationen, in denen wir Flächen verwenden, sind:

• Bodenbeläge wie Teppiche oder Fliesen erfordern eine Flächenmessung.
• Tapezieren oder Streichen der Wände.
• Ein Geschenk verpacken: Sie müssen die Fläche der Schachtel kennen, um zu verstehen, wie viel Geschenkpapier Sie benötigen.
• Wenn Sie ein Haus kaufen, möchten Sie die Fläche des Grundstücks, auf dem es gebaut wurde, sowie die nutzbare Fläche im Inneren wissen.

Wie finde ich die Fläche eines Polygons? Wenn Sie die Fläche eines Polygons ermitteln, zählen Sie, wie viele Quadrate einer bestimmten Größe den Bereich innerhalb des Polygons abdecken. Unten sehen Sie beispielsweise 5 × 5 = 25 Quadrate. Jedes Quadrat hat eine Seitenlänge von 1 Einheit. Somit hat dieses Quadrat eine Fläche von 25 Quadrateinheiten.

Dies hilft uns, die Formel für die Fläche eines Quadrats als s × s = s ² abzuleiten (hier stellt s eine Seite eines Quadrats dar). Die Einheit ist ebenfalls Zoll ² , cm ² , m ² .

Auf ähnliche Weise können wir die Formel für die Fläche anderer zweidimensionaler Figuren herleiten. Mit dieser Formel können Sie die Fläche schneller bestimmen, als die Anzahl der Quadrateinheiten innerhalb des Polygons zu zählen. Schauen wir uns ein Rechteck an.

Sie können die Quadrate einzeln zählen. Dieses Rechteck enthält 8 Quadrateinheiten in 4 Reihen. Die Gesamtzahl der Quadrate beträgt also 8 × 4 = 32. Daher beträgt die Fläche 32 Quadrateinheiten. Es ist viel einfacher, 8 mal 4 zu multiplizieren, um die Fläche dieses Rechtecks ​​abzuleiten, und allgemeiner kann die Fläche eines beliebigen Rechtecks ​​durch Multiplikation der Länge mit der Breite ermittelt werden.

Fläche eines Rechtecks ​​= Länge × Breite
Schauen wir uns die Flächenformeln für andere Polygone an.

Umfang und Fläche eines Kreises

Um den Umfang und die Fläche eines Kreises zu berechnen, müssen wir seinen Radius kennen (den Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Grenze). Der Umfang des Kreises ist der Umfang des Kreises.

Umfang eines Kreises = 2 × π × Radius
Fläche eines Kreises = π × Radius ²

Hier ist π (pi) eine mathematische Konstante, die ungefähr \(\frac{22}{7}\) oder 3,14159 entspricht.

Beispiel: Ein quadratischer Metallrahmen hat einen Umfang von 264 cm. Es ist kreisförmig gebogen. Finden Sie die Fläche des Kreises.
Der Umfang des Quadrats = Umfang des Kreises = 264

\(2 \times \frac{22}{7} \times r = 264 \\ r = 264 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{2} \\ r = 42\)

Fläche des Kreises = \(\frac{22}{7} \times {42}^2\) = 5544 cm ²

Ermitteln des Umfangs und der Fläche eines nicht standardmäßigen Polygons

Im wirklichen Leben lässt sich nicht jede ebene Figur eindeutig als Rechteck, Quadrat oder Dreieck klassifizieren. Um die Fläche einer zusammengesetzten Figur zu ermitteln, die aus mehr als einer Form besteht, müssen wir die Summe der Fläche aller Formen ermitteln, aus denen die zusammengesetzte Figur besteht. Um den Umfang nicht standardmäßiger Formen zu ermitteln, ermitteln Sie den Abstand um die Form, indem Sie die Längen jeder Seite addieren. Um den Bereich nicht standardmäßiger Formen zu ermitteln, müssen Sie Bereiche innerhalb der Form erstellen, für die Sie den Bereich ermitteln und diese Bereiche addieren können. Nehmen wir ein Beispiel und ermitteln den Umfang und die Fläche der folgenden Abbildung.

Teilen wir diese Figur in ein Rechteck und ein Dreieck und berechnen deren Fläche separat.

• Fläche des Rechtecks ​​ABCD = 18 × 12 = 216 m ²
• Fläche des Dreiecks v. Chr. = ½ × 18 × 13 = 117 m ²

Gesamtfläche der Figur = 216 + 117 = 333 m ²

Sehen Sie sich die Lektion „ Fläche schätzen “ an, um zu verstehen, wie Sie ohne die Formel die Fläche einer Figur schätzen können.