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क्षेत्र, परिमाप

इस पाठ में आप सीखेंगे:

• द्वि-आयामी आंकड़ों की परिधि।
• द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल।
• एक गैर-मानक बहुभुज का परिमाप और क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

परिमाप और क्षेत्रफल द्वि-आयामी आकृतियों के भौतिक स्थान को निर्धारित करने में मदद करते हैं। क्षेत्र और परिधि का ज्ञान व्यावहारिक रूप से लोगों द्वारा दैनिक आधार पर लागू किया जाता है, जैसे आर्किटेक्ट, इंजीनियर और ग्राफिक डिजाइनर।

किसी आकृति की परिधि को आकृति के चारों ओर की कुल दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह किसी भी आकार की लंबाई है यदि इसे रैखिक रूप में विस्तारित किया जाता है। विभिन्न आकृतियों की परिधि उनके आयामों के आधार पर एक दूसरे के साथ लंबाई में मेल खा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि लंबाई L के धातु के तार से एक वृत्त बनाया जाता है, तो उसी तार का उपयोग हम एक वर्ग बनाने के लिए कर सकते हैं, जिसकी भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। त्रिभुज, आयत, वर्ग, या बहुभुज जैसी सीधी भुजाओं वाली आकृतियों के लिए; परिधि सभी पक्षों के लिए लंबाई का योग है। जहाँ हमें परिमाप की आवश्यकता है उसके वास्तविक जीवन के कुछ उदाहरण:

• रजाई या कंबल की सीमा की लंबाई।
• किसी पार्क या खेत की बाड़ लगाने के लिए आवश्यक रस्सी की लंबाई।
• एक तस्वीर के लिए आवश्यक फ्रेम की लंबाई

आइए हम अपने बगीचे को जानवरों और चोरों से बचाने के लिए उसके चारों ओर बाड़ लगाने का उदाहरण लें।

अपने बगीचे की सीमा की लंबाई मापें। यहाँ यह 15 मीटर + 10 मीटर + 15 मीटर + 10 मीटर =50 मीटर है। बगीचे की बाड़ लगाने के लिए आपको 50 मीटर तार खरीदने की जरूरत है। इस उद्यान की परिधि 50 मीटर है।

आप परिमाप को रैखिक इकाइयों में मापते हैं , जो एक-आयामी होती हैं। परिधि के लिए माप की इकाइयों के उदाहरण इंच, सेंटीमीटर, मीटर या फीट हैं।

उदाहरण 1: दी गई आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए। सभी मापन इंच में हैं।

उत्तर: 21+15+3+7 = 46 इंच

किसी वृत्त के परिमाप को उसकी परिधि कहते हैं।

क्षेत्र

द्वि-आयामी आकृति का क्षेत्रफल आकृति द्वारा ढकी गई सतह की मात्रा का वर्णन करता है। हम क्षेत्रफल को एक निश्चित आकार की वर्ग इकाइयों में मापते हैं। उदाहरण के लिए, आप एक शीट की तुलना में कागज की दो शीटों पर अधिक लिख सकते हैं क्योंकि इसमें एक शीट के क्षेत्रफल का दोगुना होता है और इसलिए लिखने के लिए दो गुना ज्यादा जगह होती है। माप की वर्ग इकाइयों के उदाहरण वर्ग इंच, वर्ग सेंटीमीटर या वर्ग मील हैं।

कुछ वास्तविक जीवन की स्थितियाँ जहाँ हम क्षेत्रफल का उपयोग करते हैं:

• कालीनों या टाइलों जैसे फर्श को ढकने के लिए क्षेत्र माप की आवश्यकता होती है।
• वॉलपेपर या दीवारों को पेंट करना।
• उपहार लपेटना: आपको कितने रैपिंग पेपर की आवश्यकता है, यह समझने के लिए आपको बॉक्स के क्षेत्र को जानने की आवश्यकता है।
• जब आप एक घर खरीदते हैं, तो आप उस जमीन के क्षेत्र को जानना चाहते हैं जिस पर इसे बनाया गया है, साथ ही अंदर प्रयोग करने योग्य सतह भी।

बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, आप गिनते हैं कि एक निश्चित आकार के कितने वर्ग बहुभुज के अंदर के क्षेत्र को कवर करेंगे। उदाहरण के लिए, नीचे एक 5 × 5 = 25 वर्ग है। प्रत्येक वर्ग की भुजा 1 इकाई होती है। अतः इस वर्ग का क्षेत्रफल 25 वर्ग इकाई है।

यह वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र को s × s = s ² के रूप में प्राप्त करने में हमारी मदद करता है (यहाँ s वर्ग की एक भुजा को दर्शाता है)। इकाई इसी प्रकार इंच ² होगी, सेमी ² , एम ² .

इसी प्रकार, हम अन्य द्विविमीय आकृतियों के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। यह सूत्र आपको बहुभुज के अंदर वर्ग इकाइयों की संख्या गिनने की तुलना में तेजी से क्षेत्रफल निर्धारित करने में मदद करता है। आइए एक आयत देखें।

आप वर्गों को अलग-अलग गिन सकते हैं। इस आयत में 4 पंक्तियों में 8 वर्ग इकाइयाँ हैं। अतः वर्गों की कुल संख्या 8 × 4 = 32 है। इसलिए, क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है। इस आयत के क्षेत्रफल को निकालने के लिए 8 गुणा 4 को गुणा करना बहुत आसान है, और आम तौर पर किसी भी आयत का क्षेत्रफल लंबाई से चौड़ाई को गुणा करके पाया जा सकता है।

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
आइए हम अन्य बहुभुजों के लिए क्षेत्रफल सूत्र देखें।

परिधि और एक वृत्त का क्षेत्रफल

एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमें इसकी त्रिज्या (केंद्र से सीमा पर किसी भी बिंदु की दूरी) जानने की आवश्यकता है। वृत्त की परिधि ही वृत्त की परिधि है।

वृत्त का परिमाप = 2 × π × त्रिज्या
वृत्त का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या ²

यहाँ, π (pi) एक गणितीय स्थिरांक है जो लगभग \(\frac{22}{7}\) या 3.14159 के बराबर है।

उदाहरण: एक चौकोर धातु के फ्रेम का परिमाप 264 सेमी है। यह एक वृत्त के आकार में मुड़ा हुआ है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वर्ग का परिमाप = वृत्त का परिमाप = 264

\(2 \times \frac{22}{7} \times r = 264 \\ r = 264 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{2} \\ r = 42\)

वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7} \times {42}^2\) = 5544 सेमी ²

एक गैर-मानक बहुभुज का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करना

वास्तविक जीवन में, प्रत्येक समतल आकृति को स्पष्ट रूप से एक आयत, वर्ग या त्रिभुज के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। एक मिश्रित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए जिसमें एक से अधिक आकार होते हैं, हमें समग्र आकृति बनाने वाली सभी आकृतियों के क्षेत्रफल का योग ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। गैर-मानक आकृतियों का परिमाप ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक भुजा की लंबाई को जोड़कर आकृति के चारों ओर की दूरी ज्ञात करें। गैर-मानक आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको आकृति के भीतर क्षेत्र बनाने होंगे जिसके लिए आप क्षेत्रफल ढूंढ सकते हैं और इन क्षेत्रों को एक साथ जोड़ सकते हैं। आइए एक उदाहरण लें और नीचे दी गई आकृति का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करें।

आइए इस आकृति को एक आयत और एक त्रिभुज में विभाजित करें और उनके क्षेत्रफल की अलग-अलग गणना करें।

• आयत ABCD का क्षेत्रफल = 18 × 12 = 216 m ²
• त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल = ½ × 18 × 13 = 117m ²

आकृति का कुल क्षेत्रफल = 216 + 117 = 333 मी ²

यह समझने के लिए पाठ " क्षेत्रफल का अनुमान लगाएं " का संदर्भ लें कि सूत्र के बिना आप किसी आकृति के क्षेत्रफल का अनुमान कैसे लगा सकते हैं।