Back to the topics list

периметр, площадь

В этом уроке вы узнаете:

• Периметр двумерных фигур.
• Площадь двумерных фигур.
• Как найти периметр и площадь нестандартного многоугольника.

Периметр и площадь помогают количественно определить физическое пространство двухмерных фигур. Знания площади и периметра практически ежедневно применяются людьми, такими как архитекторы, инженеры и графические дизайнеры.

Периметр фигуры определяется как общее расстояние вокруг фигуры. По сути, это длина любой формы, если она развернута в линейную форму. Периметр различных форм может совпадать по длине друг с другом в зависимости от их размеров. Например, если из металлической проволоки длины L сделать круг, то из этой же проволоки можно построить квадрат, стороны которого равны по длине. Для фигур с прямыми сторонами, таких как треугольники, прямоугольники, квадраты или многоугольники; периметр это сумма длин всех сторон. Несколько реальных примеров того, где нам нужен периметр:

• Длина края одеяла или одеяла.
• Длина веревки, необходимая для ограждения парка или фермы.
• Длина рамы, необходимая для картины

Давайте возьмем пример применения забора вокруг вашего сада, чтобы защитить его от животных и воров.

Измерьте длину границы вашего сада. Здесь 15 метров + 10 метров + 15 метров + 10 метров = 50 метров. Вам нужно купить 50-метровую проволоку для ограждения сада. 50 метров - периметр этого сада.

Вы измеряете периметр в линейных единицах , которые являются одномерными. Примерами единиц измерения периметра являются дюймы, сантиметры, метры или футы.

Пример 1: Найдите периметр данной фигуры. Все измерения указаны в дюймах.

Ответ: 21 + 15 + 3 + 7 = 46 дюймов.

Периметром круга называется его окружность.

Область

Площадь двумерной фигуры описывает количество поверхности, которую покрывает фигура. Мы измеряем площадь в квадратных единицах фиксированного размера. Например, вы можете написать больше на двух листах бумаги, чем на одном листе, потому что он в два раза больше площади одного листа и, следовательно, в два раза больше места для записи. Примерами квадратных единиц измерения являются квадратные дюймы, квадратные сантиметры или квадратные мили.

Вот несколько реальных ситуаций, в которых мы используем площадь:

• Напольное покрытие, такое как ковры или плитка, требует измерения площади.
• Обои или покраска стен.
• Упаковка подарка: нужно знать площадь коробки, чтобы понимать, сколько упаковочной бумаги вам понадобится.
• Когда вы покупаете дом, вы хотите знать площадь земли, на которой он построен, а также полезную площадь внутри.

Как найти площадь многоугольника? При нахождении площади многоугольника вы подсчитываете, сколько квадратов определенного размера покроет область внутри многоугольника. Например, ниже 5 × 5 = 25 квадратов. Каждый квадрат имеет сторону 1 единицу. Следовательно, этот квадрат имеет площадь 25 квадратных единиц.

Это помогает нам вывести формулу площади квадрата как s × s = s ² (здесь s представляет собой сторону квадрата). Единицей будет аналогично дюйм ² , см ² , м ² .

Аналогичным образом можно вывести формулы площади других двумерных фигур. Эта формула поможет вам определить площадь быстрее, чем подсчет количества квадратных единиц внутри многоугольника. Посмотрим на прямоугольник.

Вы можете считать квадраты индивидуально. Этот прямоугольник содержит 8 квадратных единиц в 4 ряда. Таким образом, общее количество квадратов 8 × 4 = 32. Следовательно, площадь равна 32 квадратным единицам. Гораздо проще умножить 8 на 4, чтобы получить площадь этого прямоугольника, и, в более общем случае, площадь любого прямоугольника можно найти, умножив длину на ширину.

Площадь прямоугольника = длина × ширина
Давайте посмотрим на формулы площади для других многоугольников.

Периметр и площадь круга

Чтобы вычислить периметр и площадь круга, нам нужно знать его радиус (расстояние от центра до любой точки на границе). Окружность круга - это периметр круга.

Периметр круга = 2 × π × радиус
Площадь круга = π × радиус ²

Здесь π (пи) — математическая константа, приблизительно равная \(\frac{22}{7}\) или 3,14159.

Пример: квадратная металлическая рама имеет периметр 264 см. Он изогнут в форме круга. Найдите площадь круга.
Периметр квадрата = Периметр круга = 264.

\(2 \times \frac{22}{7} \times r = 264 \\ r = 264 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{2} \\ r = 42\)

Площадь круга = \(\frac{22}{7} \times {42}^2\) = 5544 см ²

Нахождение периметра и площади нестандартного многоугольника

В реальной жизни не всякую плоскую фигуру можно однозначно классифицировать как прямоугольник, квадрат или треугольник. Чтобы найти площадь составной фигуры, состоящей более чем из одной фигуры, нам нужно найти сумму площадей всех фигур, образующих составную фигуру. Чтобы найти периметр нестандартной формы, найдите расстояние вокруг фигуры, сложив длины каждой стороны. Чтобы найти площадь нестандартных фигур, вам нужно создать области внутри формы, для которых вы можете найти площадь, и сложить эти области вместе. Давайте возьмем пример и найдем периметр и площадь рисунка ниже.

Разделим эту фигуру на прямоугольник и треугольник и посчитаем их площадь отдельно.

• Площадь прямоугольника ABCD = 18 × 12 = 216 м ²
• Площадь треугольника BCE = ½ × 18 × 13 = 117 м ²

Общая площадь фигуры = 216 + 117 = 333 м ²

Обратитесь к уроку « Оценка площади », чтобы понять, как без формулы можно оценить площадь фигуры.