Back to the topics list

القوس والجزء, ظل

الخطوط والدوائر هي الأشكال الأولية الهامة في الهندسة. نحن نعلم أن الخط هو مسار يمر عبر نقطتين أو أكثر يتحركان في اتجاه ثابت، في حين أن الدائرة عبارة عن مجموعة من كل تلك النقاط في المستوى الذي يكون على مسافة متساوية من نقطة ثابتة. سنناقش هنا الخصائص المهمة للدائرة بالتفصيل.

• الخط المستقيم المرسوم من مركز الدائرة لينصف وترًا ليس قطرًا يكون عموديًا على الوتر.

AB هو وتر في دائرة مركزها O.

D هي نقطة المنتصف لـ AB ويتم ربط OD ثم \(OD \perp AB\)

وعكس ذلك صحيح أيضاً، أي أن الخط المستقيم المرسوم من مركز الدائرة عمودياً على الوتر يشطر الوتر.

• يمكن رسم دائرة واحدة فقط من خلال ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم.

• الأوتار المتساوية في الدائرة تكون على مسافة متساوية من المركز.

في دائرة مركزها O، الوتر AB = الوتر EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) ثم \(OH = OD\)

والعكس صحيح أيضًا، أي أن أوتار الدائرة المتساوية البعد عن المركز متساوية.

• إذا كان هناك قوسان يقابلان زاويتين متساويتين في المركز فإنهما متساويتان.
• في دوائر متساوية أو في نفس الدائرة، إذا كان هناك وتران متساويان، فإنهما يقطعان أقواسًا متساوية.

قوس PMQ يقابل ∠ POQ في المركز، Arc ANB يقابل ∠ AOB في المركز و ∠ POQ = ∠ AOB ثم \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

إذا كان Chord PQ = Chord AB، فعندئذٍ \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

والعكس صحيح أيضًا، أي أن الأقواس المتساوية تقابل زاوية متساوية في المركز. وإذا كان القوسان متساويين، فإن أوتار القوسين متساوية أيضًا.

دعونا نحاول حل بعض الأسئلة بناءً على النظريات المذكورة أعلاه.

مثال 1: أثبت أنه من بين الوترين في الدائرة، يكون الوتر الأكبر هو الأقرب إلى المركز.

نظرا: AB> CD، إثبات: OP <OQ
مثل
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
وOA = OC = نصف قطر الدائرة.
في △ OPA، OA ² = AP ² + OP ² وفي △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
على سبيل المثال، CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² كـ AP > CQ، وبالتالي AP ² > CQ ²

لجعل LHS = RHS، OQ ² > OP ² أو OQ > OP

مثال 2 : في دائرة متساوية مركزها O وQ، أوجد قياس ∠DQE

كما \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) ، لذلك ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• الزاوية المقابلة للمركز على قوس الدائرة هي ضعف الزاوية التي يقبلها هذا القوس على أي جزء متبقي من المحيط.
  
  دائرة مركزها O حيث القوس AB يقابل ∠ AOB في المركز و ∠ APB عند أي نقطة على المحيط ثم ∠ AOB = 2 ∠ APB

• في دائرة الزاوية في أ

1. نصف الدائرة عبارة عن زاوية قائمة (الشكل 1)
2. القطع الأكبر من نصف الدائرة أقل من الزاوية القائمة. (الشكل الثاني)
3. القطعة الأصغر من نصف الدائرة أكبر من الزاوية القائمة. (الشكل الثالث)

القطعة ACB في الشكل i هي نصف دائرة، وبالتالي ∠ ACB = 90 ^o ، القطعة في الشكل ii أكبر من نصف دائرة وبالتالي ∠ ACB < 90 ^o ، القطعة ACB في الشكل iii أقل من نصف دائرة و ولذلك ∠ ACB > 90 ^س

• الزوايا الموجودة في نفس الجزء من الدائرة متساوية.

AB عبارة عن قطعة تقابل ∠ 1 و ∠ 2 و ∠ 3 عند المحيط ثم ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• الزاوية المقابلة للشكل الرباعي الدائري متكاملة.

إذا كانت رؤوس الشكل الرباعي تقع على دائرة فإنه يسمى رباعيا دائريا.

∠ أ + ∠ ج = 180° و ∠ ب + ∠ د = 180°

• المماس عند أي نقطة من الدائرة ونصف القطر عبر هذه النقطة متعامدان مع بعضهما البعض.

O هو مركز الدائرة وAB مماس للدائرة عند النقطة P ثم OP \(\perp\) AB.

• إذا رسم مماسين لدائرة من نقطة خارجية فإن:

1. المماستان متساويتان في الطول
2. المماستان لها زوايا متساوية في مركز الدائرة.
3. تميل مماسات الدائرة بالتساوي على الخط الواصل بين النقطة ومركز الدائرة.
4. الزاوية بين المماستين مكملة للزاوية التي تقع في المركز.

دائرة مركزها O. يتم رسم مماسين BQ و BP من النقطة B إلى الدائرة .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ ميزان المدفوعات
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180 درجة

مثال 3: ما جزء الدائرة الكاملة الذي يمثل القوس PQ في الشكل أدناه؟

انضم إلى PO والعلاقات العامة. إذا كانت ∠ PQR = 120°، فإن ∠ POR = 240° (الزاوية المقابلة للمركز بقوس الدائرة هي ضعف الزاوية التي يقابلها هذا القوس عند أي جزء متبقي من المحيط.)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360°، وبالتالي فإن القوس الرئيسي PR هو ثلثي الدائرة.

مثال 4: OP وOQ هما مماسين. إذا كان OP = 4 سم. ابحث عن أوكيو.

بما أن OP = 4، فإن OQ = 4 (إذا تم رسم مماسين لدائرة من نقطة خارجية متساويان في الطول)