Back to the topics list

qövs və seqment, toxunan

Xətlər və dairələr həndəsənin vacib elementar fiqurlarıdır. Bilirik ki, xətt sabit istiqamətdə hərəkət edən iki və ya daha çox nöqtədən keçən yoldur, halbuki dairə müəyyən bir nöqtədən eyni dərəcədə uzaq olan bir müstəvidəki bütün bu nöqtələrin məcmusudur. Burada bir dairənin vacib xüsusiyyətlərini ətraflı müzakirə edəcəyik.

• Diametri olmayan akkordu ikiyə bölmək üçün çevrənin mərkəzindən çəkilmiş düz xətt akkorda perpendikulyardır.

AB mərkəzi O olan çevrənin akkordudur.

D AB-nin orta nöqtəsidir və OD birləşdirilir, sonra \(OD \perp AB\)

Bunun əksi də doğrudur, yəni akkorda perpendikulyar olan çevrənin mərkəzindən çəkilmiş düz xətt akkordu ikiyə bölür.

• Eyni düz xəttdə olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir dairə çəkilə bilər.

• Bir dairənin bərabər akkordları mərkəzdən bərabər məsafədədir.

Mərkəzi O olan dairədə AB akkordu = EF akkordu. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) sonra \(OH = OD\)

Bunun əksi də doğrudur, yəni mərkəzdən bərabər məsafədə olan çevrənin akkordları bərabərdir.

• Əgər iki qövs mərkəzdə bərabər bucaqlara malikdirsə, onlar bərabərdirlər.
• Bərabər dairələrdə və ya eyni dairədə iki akkord bərabərdirsə, bərabər qövsləri kəsirlər.

Qövs PMQ mərkəzdə ∠ POQ, Qövs ANB mərkəzdə ∠ AOB və ∠ POQ = ∠ AOB sonra \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Akkord PQ = Akkord AB olarsa \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Bunun əksi də doğrudur, yəni Bərabər qövslər mərkəzdə bərabər bucağa malikdir. Əgər iki qövs bərabərdirsə, qövslərin akkordları da bərabərdir.

Yuxarıdakı teoremlərə əsaslanaraq bir neçə sualı həll etməyə çalışaq.

Nümunə 1: Dairənin hər hansı iki akkordundan böyük olanın mərkəzə daha yaxın olduğunu sübut edin.

Verilmiş : AB > CD, sübut edin: OP < OQ
kimi
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Və OA = OC = dairənin radiusu.
△ OPA-da OA ² = AP ² + OP ² və △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
yəni, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² AP > CQ kimi, buna görə də AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² və ya OQ > OP etmək

Misal 2 : O və Q mərkəzləri olan bərabər dairədə ∠DQE ölçüsünü tapın

\(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) kimi, buna görə də ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Mərkəzdə dairənin qövsünün çəkdiyi bucaq, çevrənin hər hansı qalan hissəsində bu qövsün keçdiyi bucaqdan ikiqatdır.
  
  AB qövsünün mərkəzdə ∠ AOB və çevrənin hər hansı bir nöqtəsində ∠ APB olduğu, onda ∠ AOB = 2 ∠ APB olduğu mərkəzi O olan dairə.

• Bir dairədə bucaq a

1. Yarımdairə düz bucaqdır .(şəkil i)
2. Yarımdairədən böyük olan seqmentlər düz bucaqdan kiçikdir. (şəkil ii)
3. Yarımdairədən kiçik olan seqment düz bucaqdan böyükdür. (şəkil iii)

i şəklindəki ACB seqmenti yarımdairədir, buna görə də ∠ ACB = 90 ^o , ii şəklindəki seqment yarımdairədən böyükdür ona görə də ∠ ACB < 90 ^o , ACB seqmenti iii rəqəmi yarımdairədən kiçikdir və buna görə də ∠ ACB > 90 ^o

• Bir dairənin eyni seqmentindəki açılar bərabərdir.

AB çevrədə ∠ 1, ∠ 2 və ∠ 3-dən ibarət olan seqmentdir, onda ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Dövrlü dördbucağın əks bucağı tamamlayıcıdır.

Dördbucaqlının təpələri çevrə üzərində yerləşirsə, ona siklik dördbucaq deyilir.

∠ A + ∠ C = 180° və ∠ B + ∠ D = 180°

• Dairənin istənilən nöqtəsindəki tangens və bu nöqtədən keçən radius bir-birinə perpendikulyardır.

O dairənin mərkəzidir və AB P nöqtəsində çevrəyə tangensdir, sonra OP \(\perp\) AB.

• Xarici nöqtədən dairəyə iki tangens çəkilirsə, onda:

1. Tangenslərin uzunluğu bərabərdir
2. Tangenslər dairənin mərkəzində bərabər bucaqlara malikdir.
3. Tangenslər dairənin nöqtəsini və mərkəzini birləşdirən xəttə bərabər şəkildə meyllidirlər.
4. Tangenslər arasındakı bucaq onların mərkəzdə yerləşdiyi bucağa əlavədir.

Mərkəzi O olan çevrə. B nöqtəsindən dairəyə iki BQ və BP tangensi çəkilmişdir .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Misal 3: Aşağıdakı şəkildəki PQ qövsü bütün çevrənin neçə hissəsini təşkil edir?

PO və PR-a qoşulun. Əgər ∠ PQR = 120° olarsa, onda ∠ POR = 240° (Dirənin qövsü ilə mərkəzdə açılan bucaq çevrənin hər hansı qalan hissəsində bu qövsün keçdiyi bucaqdan ikiqatdır.)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360°, buna görə də Böyük qövs PR dairənin üçdə ikisini təşkil edir.

Misal 4: OP və OQ tangensdir. Əgər OP = 4 sm. OQ tapın.

OP = 4 olduğu üçün OQ = 4 (xarici nöqtədən çevrəyə iki tangens uzunluqları bərabərdirsə)