Back to the topics list

চাপ এবং বিভাগ, স্পর্শকাতর

রেখা এবং বৃত্ত জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ প্রাথমিক পরিসংখ্যান। আমরা জানি যে একটি রেখা হল দুই বা ততোধিক বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি ধ্রুবক দিকে চলা পথ যেখানে বৃত্ত হল একটি সমতলে থাকা সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি যা কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমানভাবে দূরে থাকে। এখানে আমরা একটি বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।

• ব্যাস নয় এমন একটি জ্যাকে দ্বিখণ্ডিত করার জন্য একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে আঁকা একটি সরল রেখা জ্যাটির লম্ব।

AB হল O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের একটি জ্যা।

D হল AB এর মধ্যবিন্দু এবং OD যুক্ত হলে \(OD \perp AB\)

এর কথোপকথনটিও সত্য, অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি জ্যায় লম্বভাবে আঁকা একটি সরল রেখা জ্যাকে দ্বিখণ্ডিত করে।

• একই সরলরেখায় না পড়ে তিনটি বিন্দুর মাধ্যমে একটি এবং শুধুমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।

• একটি বৃত্তের সমান জ্যাগুলি কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

কেন্দ্র O সহ একটি বৃত্তে, জ্যা AB = জ্যা EF। \(OH \perp EF , OD \perp AB \) তারপর \(OH = OD\)

এর কথোপকথনটিও সত্য অর্থাৎ কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত একটি বৃত্তের জ্যাগুলি সমান।

• যদি দুটি চাপ কেন্দ্রে সমান কোণকে উপেক্ষা করে তবে তারা সমান।
• সমান বৃত্তে বা একই বৃত্তে দুটি জ্যা সমান হলে, তারা সমান চাপ কেটে দেয়।

Arc PMQ কেন্দ্রে ∠ POQ সাবটেন করে, Arc ANB কেন্দ্রে ∠ AOB এবং ∠ POQ = ∠ AOB তারপর \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

জর্ড PQ = জর্ড AB তাহলে \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

এর কথোপকথনটিও সত্য, অর্থাৎ, সমান চাপগুলি কেন্দ্রে সমান কোণকে সাবটেন্ড করে। এবং দুটি চাপ সমান হলে চাপের জ্যাও সমান।

আসুন উপরের উপপাদ্যগুলির উপর ভিত্তি করে কয়েকটি প্রশ্নের সমাধান করার চেষ্টা করি।

উদাহরণ 1: প্রমাণ করুন যে একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি জ্যা, যেটি বড় সেটি কেন্দ্রের কাছাকাছি।

প্রদত্ত: AB > CD, প্রমাণ করুন: OP < OQ
হিসাবে
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
এবং OA = OC = বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
△ OPA, OA ² = AP ² + OP ² এবং ইন △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
অর্থাৎ, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² AP > CQ হিসাবে, অতএব AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² বা OQ > OP তৈরি করতে

উদাহরণ 2 : O এবং Q কেন্দ্রের সমান বৃত্তে, ∠DQE এর পরিমাপ খুঁজুন

যেমন \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , তাই ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• একটি বৃত্তের একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে যে কোণটি এই চাপটি পরিধির অবশিষ্ট অংশে উপনীত করে তার দ্বিগুণ।
  
  কেন্দ্র O সহ একটি বৃত্ত যেখানে চাপ AB কেন্দ্রে ∠ AOB এবং ∠ APB পরিধির যেকোনো বিন্দুতে তারপর ∠ AOB = 2 ∠ APB

• একটি বৃত্তের মধ্যে একটি কোণ

1. অর্ধবৃত্ত একটি সমকোণ । (চিত্র i)
2. একটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে বড় অংশগুলি একটি সমকোণ থেকে কম। (চিত্র ii)
3. একটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট সেগমেন্ট একটি সমকোণ থেকে বড়। (চিত্র iii)

চিত্র i তে সেগমেন্ট ACB একটি অর্ধবৃত্ত, তাই ∠ ACB = 90 ^o , চিত্র ii এর রেখাংশটি একটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে বড় তাই ∠ ACB < 90 ^o , সেগমেন্ট ACB হল চিত্র iii একটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট এবং অতএব ∠ ACB > 90 ^o

• একটি বৃত্তের একই অংশের কোণগুলি সমান।

AB হল একটি রেখাংশ যা পরিধিতে ∠ 1, ∠ 2 এবং ∠ 3 কে সাবটেন করে তারপর ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• একটি চক্রীয় চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক।

যদি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি একটি বৃত্তের উপর থাকে তবে তাকে চক্রীয় চতুর্ভুজ বলে।

∠ A + ∠ C = 180° এবং ∠ B + ∠ D = 180°

• বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক এবং এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে ব্যাসার্ধ একে অপরের সাথে লম্ব।

O হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB হল P বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক তারপর OP \(\perp\) AB।

• যদি দুটি স্পর্শক একটি বাহ্যিক বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে আঁকা হয় তাহলে:

1. স্পর্শক দৈর্ঘ্যে সমান
2. স্পর্শকগুলি বৃত্তের কেন্দ্রে সমান কোণগুলিকে সাবটেন করে।
3. স্পর্শকগুলি বিন্দু এবং বৃত্তের কেন্দ্রে যোগদানকারী রেখার দিকে সমানভাবে ঝুঁকে আছে।
4. স্পর্শকগুলির মধ্যবর্তী কোণটি কেন্দ্রে যে কোণটি সাবটেন করে তার পরিপূরক।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত। B বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক BQ এবং BP টানা হয় ।

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

উদাহরণ 3: নীচের চিত্রের চাপ PQ পুরো বৃত্তের কোন ভগ্নাংশ?

PO এবং PR যোগদান করুন। যদি ∠ PQR = 120° হয়, তাহলে ∠ POR = 240° ( একটি বৃত্তের একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে যে কোণটি চাপানো হয় সেটি পরিধির যেকোন অবশিষ্ট অংশে এই চাপটি যে কোণকে উপেক্ষা করে তার দ্বিগুণ।)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360°, তাই মেজর আর্ক PR হল বৃত্তের দুই-তৃতীয়াংশ।

উদাহরণ 4: OP এবং OQ স্পর্শক। যদি OP = 4 সেমি. OQ খুঁজুন।

OP = 4 হিসাবে, তাই OQ = 4 (যদি একটি বাহ্যিক বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক বৃত্তে আঁকা হয় দৈর্ঘ্যে সমান)