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bogen und segment, tangente

Linien und Kreise sind die wichtigen Grundfiguren der Geometrie. Wir wissen, dass eine Linie ein Weg durch zwei oder mehr Punkte ist, die sich in einer konstanten Richtung bewegen, während der Kreis eine Menge all dieser Punkte in einer Ebene ist, die von einem festen Punkt gleich weit entfernt ist. Hier werden wir die wichtigen Eigenschaften eines Kreises im Detail besprechen.

• Eine gerade Linie, die vom Mittelpunkt eines Kreises aus gezogen wird, um eine Sehne zu halbieren, die kein Durchmesser ist, verläuft senkrecht zur Sehne.

AB ist die Sehne eines Kreises mit dem Mittelpunkt O.

D ist der Mittelpunkt von AB und OD wird dann verbunden \(OD \perp AB\)

Das Umgekehrte gilt auch, dh eine gerade Linie, die vom Mittelpunkt eines Kreises senkrecht zu einer Sehne gezogen wird, halbiert die Sehne.

• Durch drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, kann ein und nur ein Kreis gezeichnet werden.

• Gleiche Sehnen eines Kreises haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.

In einem Kreis mit Mittelpunkt O ist Sehne AB = Sehne EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) dann \(OH = OD\)

Das Umgekehrte gilt auch, dh die Sehnen eines Kreises, die den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben, sind gleich.

• Wenn zwei Bögen in der Mitte gleiche Winkel bilden, sind sie gleich.
• In gleichen Kreisen oder im gleichen Kreis, wenn zwei Sehnen gleich sind, schneiden sie gleiche Bögen ab.

Arc PMQ erstreckt sich über ∠ POQ in der Mitte, Arc ANB erstreckt sich über ∠ AOB in der Mitte und ∠ POQ = ∠ AOB, dann \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Wenn Akkord PQ = Akkord AB, dann \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Das Umgekehrte gilt auch, dh gleiche Bögen weisen in der Mitte gleiche Winkel auf. Und wenn zwei Bögen gleich sind, sind auch die Sehnen der Bögen gleich.

Versuchen wir, einige Fragen basierend auf den oben genannten Theoremen zu lösen.

Beispiel 1: Beweisen Sie, dass von zwei beliebigen Sehnen eines Kreises die größere, näher am Mittelpunkt liegt.

Gegeben: AB > CD, beweisen Sie: OP < OQ
Als
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Und OA = OC = Kreisradius.
In △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² und in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
Das heißt, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² , da AP > CQ, also AP ² > CQ ²

um LHS = RHS, OQ ² > OP ² oder OQ > OP zu machen

Beispiel 2 : Finden Sie im gleichen Kreis mit den Mittelpunkten O und Q das Maß für ∠DQE

Da \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , also ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Der Winkel, den ein Kreisbogen in der Mitte einschließt, ist doppelt so groß wie der Winkel, den dieser Bogen an jedem verbleibenden Teil des Umfangs einschließt.
  
  Ein Kreis mit dem Mittelpunkt O, in dem der Bogen AB ∠ AOB in der Mitte und ∠ APB an jedem Punkt auf dem Umfang umfasst, dann ist ∠ AOB = 2 ∠ APB

• In einem Kreis ist der Winkel a

1. Halbkreis ist ein rechter Winkel . (Abbildung i)
2. Segmente, die größer als ein Halbkreis sind, sind kleiner als ein rechter Winkel. (Abbildung II)
3. Ein Segment, das kleiner als ein Halbkreis ist, ist größer als ein rechter Winkel. (Abbildung III)

Segment ACB in Abbildung i ist ein Halbkreis, daher ist ∠ ACB = 90 ^o , das Segment in Abbildung ii ist größer als ein Halbkreis, daher ist ∠ ACB < 90 ^o , Segment ACB ist in Abbildung iii kleiner als ein Halbkreis und daher ∠ ACB > 90 ^o

• Winkel im gleichen Kreissegment sind gleich.

AB ist ein Segment, das ∠ 1, ∠ 2 und ∠ 3 am Umfang umfasst, dann gilt ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Die entgegengesetzten Winkel eines zyklischen Vierecks sind ergänzend.

Liegen die Eckpunkte eines Vierecks auf einem Kreis, spricht man von einem zyklischen Viereck.

∠ A + ∠ C = 180° und ∠ B + ∠ D = 180°

• Die Tangente an einem beliebigen Punkt eines Kreises und der Radius durch diesen Punkt stehen senkrecht zueinander.

O ist der Mittelpunkt des Kreises und AB tangiert den Kreis im Punkt P, dann ist OP \(\perp\) AB.

• Wenn zwei Tangenten von einem externen Punkt an einen Kreis gezogen werden, gilt Folgendes:

1. Die Tangenten sind gleich lang
2. Die Tangenten bilden im Mittelpunkt des Kreises gleiche Winkel.
3. Die Tangenten sind zur Verbindungslinie zwischen Punkt und Kreismittelpunkt gleich geneigt.
4. Der Winkel zwischen den Tangenten ergänzt den Winkel, den sie in der Mitte bilden.

Ein Kreis mit Mittelpunkt O. Vom Punkt B zum Kreis werden zwei Tangenten BQ und BP gezogen .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Beispiel 3: Welcher Bruchteil des gesamten Kreises ist der Bogen PQ in der folgenden Abbildung?

Treten Sie PO und PR bei. Wenn ∠ PQR = 120°, dann ∠ POR = 240° (Der Winkel, den ein Kreisbogen in der Mitte einschließt, ist doppelt so groß wie der Winkel, den dieser Bogen an jedem verbleibenden Teil des Umfangs einschließt.)

240° = \(\frac{2}{3}\) von 360°, daher beträgt der Hauptbogen PR zwei Drittel des Kreises.

Beispiel 4: OP und OQ sind Tangenten. Wenn OP = 4 cm. Finden Sie OQ.

Da OP = 4, also OQ = 4 (Wenn zwei Tangenten, die von einem externen Punkt an einen Kreis gezogen werden, gleich lang sind)