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arco y segmento, tangente

Las líneas y los círculos son las figuras elementales importantes en geometría. Sabemos que una línea es un camino que pasa por dos o más puntos que se mueven en una dirección constante mientras que el círculo es un conjunto de todos esos puntos en un plano que está equidistante de algún punto fijo. Aquí discutiremos en detalle las propiedades importantes de un círculo.

• Una línea recta trazada desde el centro de un círculo para bisectar una cuerda que no es un diámetro es perpendicular a la cuerda.

AB es una cuerda de una circunferencia con centro O.

D es el punto medio de AB y OD se une entonces \(OD \perp AB\)

Lo contrario de esto también es cierto, es decir, una línea recta trazada desde el centro de un círculo perpendicular a una cuerda biseca la cuerda.

• Se puede trazar un solo círculo a través de tres puntos que no están en la misma línea recta.

• Las cuerdas iguales de un círculo equidistan del centro.

En una circunferencia con centro O, cuerda AB = cuerda EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) entonces \(OH = OD\)

Lo contrario de esto también es cierto, es decir, las cuerdas de un círculo que están equidistantes del centro son iguales.

• Si dos arcos subtienden ángulos iguales en el centro, son iguales.
• En círculos iguales o en el mismo círculo si dos cuerdas son iguales, cortan arcos iguales.

Arc PMQ subtiende ∠ POQ en el centro, Arc ANB subtiende ∠ AOB en el centro y ∠ POQ = ∠ AOB entonces \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Si Acorde PQ = Acorde AB entonces \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Lo contrario de esto también es cierto, es decir, arcos iguales subtienden ángulos iguales en el centro. Y si dos arcos son iguales las cuerdas de los arcos también son iguales.

Intentemos resolver algunas preguntas basadas en los teoremas anteriores.

Ejemplo 1: Demuestre que de dos cuerdas cualesquiera de un círculo, la que es mayor está más cerca del centro.

Dado : AB > CD, demuestre : OP < OQ
Como
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Y OA = OC = radio del círculo.
En △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² y en △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
es decir, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² como AP > CQ, por lo tanto AP ² > CQ ²

para hacer LHS = RHS, OQ ² > OP ² u OQ > OP

Ejemplo 2 : En un círculo igual con centros O y Q, encuentre la medida de ∠DQE

Como \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , por lo tanto ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43 = 125°

• El ángulo subtendido en el centro por un arco de círculo es el doble del ángulo que este arco subtiende en cualquier parte restante de la circunferencia.
  
  Una circunferencia con centro O en la que el arco AB subtiende a ∠ AOB en el centro y a ∠ APB en cualquier punto de la circunferencia, entonces ∠ AOB = 2 ∠ APB

• En un círculo el ángulo en un

1. El semicírculo es un ángulo recto (figura i)
2. Los segmentos mayores que un semicírculo son menores que un ángulo recto. (figura ii)
3. El segmento menor que un semicírculo es mayor que un ángulo recto. (figura iii)

el segmento ACB en la figura i es un semicírculo, por lo tanto ∠ ACB = 90 ^o , el segmento en la figura ii es mayor que un semicírculo por lo tanto ∠ ACB < 90 ^o , el segmento ACB es la figura iii es menor que un semicírculo y por lo tanto ∠ ACB > 90 ^o

• Los ángulos en el mismo segmento de un círculo son iguales.

AB es un segmento que subtiende a ∠ 1, ∠ 2 y ∠ 3 en la circunferencia entonces ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios.

Si los vértices de un cuadrilátero se encuentran en una circunferencia, se llama cuadrilátero cíclico.

∠ A + ∠ C = 180° y ∠ B + ∠ D = 180°

• La tangente en cualquier punto de un círculo y el radio que pasa por este punto son perpendiculares entre sí.

O es el centro del círculo y AB es tangente al círculo en el punto P, luego OP \(\perp\) AB.

• Si se trazan dos tangentes a una circunferencia desde un punto externo, entonces:

1. Las tangentes tienen la misma longitud.
2. Las tangentes subtienden ángulos iguales en el centro del círculo.
3. Las tangentes están igualmente inclinadas respecto de la recta que une el punto y el centro de la circunferencia.
4. El ángulo entre las tangentes es suplementario al ángulo que subtienden en el centro.

Un círculo con centro O. Se trazan dos tangentes BQ y BP desde el punto B al círculo .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Ejemplo 3: ¿Qué fracción del círculo completo es el arco PQ en la siguiente figura?

Únase a PO y PR. Si ∠ PQR = 120° entonces ∠ POR = 240° (El ángulo subtendido en el centro por un arco de círculo es el doble del ángulo que este arco subtiende en cualquier parte restante de la circunferencia).

240° = \(\frac{2}{3}\) de 360°, por lo tanto el arco mayor PR es dos tercios del círculo.

Ejemplo 4: OP y OQ son tangentes. Si OP = 4 cm. Encuentra OQ.

Como OP = 4, por lo tanto OQ = 4 (Si se dibujan dos tangentes a un círculo desde un punto externo tienen la misma longitud)