خطوط و دایره ها از ارقام ابتدایی مهم در هندسه هستند. می دانیم که یک خط مسیری است از میان دو یا چند نقطه که در یک جهت ثابت حرکت می کنند، در حالی که دایره مجموعه ای از تمام آن نقاط در یک صفحه است که به همان اندازه از نقطه ثابتی فاصله دارند. در اینجا ویژگی های مهم یک دایره را به تفصیل مورد بحث قرار خواهیم داد.
AB وتر یک دایره با مرکز O است.
D نقطه وسط AB است و OD به هم می پیوندد سپس \(OD \perp AB\)
برعکس این نیز صادق است، یعنی یک خط مستقیم که از مرکز دایره عمود بر یک وتر کشیده شده است، وتر را نصف می کند.
در دایره ای با مرکز O، وتر AB = وتر EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) سپس \(OH = OD\)
برعکس این نیز صادق است، یعنی آکوردهای دایره ای که از مرکز به یک اندازه فاصله دارند با هم برابرند.
Arc PMQ فرعی ∠ POQ در مرکز، Arc ANB فرعی ∠ AOB در مرکز و ∠ POQ = ∠ AOB سپس \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)
اگر آکورد PQ = آکورد AB، \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)
برعکس این نیز صادق است، یعنی کمان های مساوی زاویه مساوی را در مرکز فرو می برند. و اگر دو قوس مساوی باشند آکوردهای کمان نیز برابرند.
بیایید سعی کنیم چند سوال را بر اساس قضایای فوق حل کنیم.
مثال 1: ثابت کنید که از هر دو وتر یک دایره، آن که بزرگتر است به مرکز نزدیکتر است.
داده شده: AB > CD، ثابت کنید: OP < OQ
مانند
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
و OA = OC = شعاع دایره.
در △ OPA، OA 2 = AP 2 + OP 2 و در △ OQC، OC 2 = CQ 2 + OQ 2
یعنی CQ 2 + OQ 2 = AP 2 + OP 2 به صورت AP > CQ، بنابراین AP 2 > CQ 2
برای ایجاد LHS = RHS، OQ 2 > OP 2 یا OQ > OP
مثال 2 : در دایره مساوی با مراکز O و Q، اندازه ∠DQE را پیدا کنید
به عنوان \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) ، بنابراین ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y - 43 =>2y = 48 => y = 24
∠DQE = 7 × 24 − 43 = 125 درجه
قطعه ACB در شکل i یک نیم دایره است، بنابراین ∠ ACB = 90 o ، قطعه در شکل ii بزرگتر از یک نیم دایره است بنابراین ∠ ACB < 90 o ، قطعه ACB شکل iii کمتر از یک نیم دایره است و بنابراین ∠ ACB > 90 o
AB قطعه ای است که در محیط فرعی ∠ 1، ∠ 2 و ∠ 3 است سپس ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3
اگر رئوس یک چهار ضلعی روی دایره ای قرار داشته باشد به آن چهارضلعی حلقوی می گویند.
∠ A + ∠ C = 180 درجه و ∠ B + ∠ D = 180 درجه
O مرکز دایره است و AB مماس بر دایره در نقطه P و سپس OP \(\perp\) AB است.
دایره ای با مرکز O. دو مماس BQ و BP از نقطه B به دایره رسم می شوند .
مثال 3: قوس PQ در شکل زیر چند کسری از کل دایره است؟
به PO و PR بپیوندید. اگر ∠ PQR = 120 درجه، ∠ POR = 240 درجه (زاویه ای که در مرکز توسط یک کمان دایره فرو می رود، دوبرابر زاویه ای است که این قوس در هر قسمت باقی مانده از محیط میل می کند.)
240 درجه = \(\frac{2}{3}\) از 360 درجه، بنابراین قوس اصلی PR دو سوم دایره است.
مثال 4: OP و OQ مماس هستند. اگر OP = 4 سانتی متر باشد. OQ را پیدا کنید.
به عنوان OP = 4، بنابراین OQ = 4 (اگر دو مماس به یک دایره از یک نقطه خارجی کشیده شوند از نظر طول برابر باشند)
