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arc et segment, tangente

Les lignes et les cercles sont les figures élémentaires importantes de la géométrie. Nous savons qu'une ligne est un chemin passant par deux ou plusieurs points se déplaçant dans une direction constante, tandis que le cercle est un ensemble de tous ces points dans un plan également éloigné d'un point fixe. Ici, nous discuterons en détail des propriétés importantes d’un cercle.

• Une ligne droite tracée à partir du centre d'un cercle pour couper en deux une corde qui n'est pas un diamètre est perpendiculaire à la corde.

AB est la corde d'un cercle de centre O.

D est le milieu de AB et OD est joint alors \(OD \perp AB\)

L'inverse est également vrai, c'est-à-dire qu'une ligne droite tracée à partir du centre d'un cercle perpendiculaire à une corde coupe la corde en deux.

• Un et un seul cercle peut être tracé passant par trois points ne se trouvant pas sur la même ligne droite.

• Les cordes égales d'un cercle sont équidistantes du centre.

Dans un cercle de centre O, corde AB = corde EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) alors \(OH = OD\)

L'inverse est également vrai, c'est-à-dire que les cordes d'un cercle équidistantes du centre sont égales.

• Si deux arcs sous-tendent des angles égaux au centre, ils sont égaux.
• Dans des cercles égaux ou dans le même cercle si deux cordes sont égales, ils coupent des arcs égaux.

Arc PMQ sous-tend ∠ POQ au centre, Arc ANB sous-tend ∠ AOB au centre et ∠ POQ = ∠ AOB alors \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Si Accord PQ = Accord AB alors \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

L'inverse est également vrai, c'est-à-dire que les arcs égaux sous-tendent un angle égal au centre. Et si deux arcs sont égaux, les cordes des arcs sont également égales.

Essayons de résoudre quelques questions basées sur les théorèmes ci-dessus.

Exemple 1 : Prouvez que parmi deux cordes quelconques d'un cercle, celle qui est la plus grande est la plus proche du centre.

Étant donné : AB > CD, prouver : OP < OQ
Comme
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Et OA = OC = rayon du cercle.
Dans △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² et dans △ OQC, ^OC2 = ^CQ2 + ^OQ2
c'est-à-dire CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² comme AP > CQ, donc AP ² > CQ ²

pour faire LHS = RHS, OQ ² > OP ² ou OQ > OP

Exemple 2 : Dans un cercle égal de centres O et Q, trouver la mesure de ∠DQE

Comme \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , donc ∠AOB = ∠DQE
5a + 5 = 7a − 43 =>2a = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• L'angle que sous-tend au centre un arc de cercle est le double de l'angle que cet arc sous-tend à toute partie restante de la circonférence.
  
  Un cercle de centre O dans lequel l'arc AB sous-tend ∠ AOB au centre et ∠ APB en tout point de la circonférence alors ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Dans un cercle, l'angle dans un

1. Le demi-cercle est un angle droit . (figure i)
2. Les segments supérieurs à un demi-cercle sont inférieurs à un angle droit. (figure ii)
3. Un segment inférieur à un demi-cercle est supérieur à un angle droit. (figure iii)

le segment ACB de la figure i est un demi-cercle, donc ∠ ACB = 90 ^o , le segment de la figure ii est supérieur à un demi-cercle donc ∠ ACB < 90 ^o , le segment ACB de la figure iii est inférieur à un demi-cercle et donc ∠ ACB > 90 ^o

• Les angles d’un même segment de cercle sont égaux.

AB est un segment qui sous-tend ∠ 1, ∠ 2 et ∠ 3 à la circonférence alors ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Les angles opposés d'un quadrilatère cyclique sont supplémentaires.

Si les sommets d’un quadrilatère se trouvent sur un cercle, on parle de quadrilatère cyclique.

∠ A + ∠ C = 180° et ∠ B + ∠ D = 180°

• La tangente en tout point d'un cercle et le rayon passant par ce point sont perpendiculaires l'un à l'autre.

O est le centre du cercle et AB est tangent au cercle au point P alors OP \(\perp\) AB.

• Si deux tangentes sont tracées à un cercle à partir d’un point extérieur alors :

1. Les tangentes sont de même longueur
2. Les tangentes sous-tendent des angles égaux au centre du cercle.
3. Les tangentes sont également inclinées à la droite joignant le point et le centre du cercle.
4. L'angle entre les tangentes est complémentaire à l'angle qu'elles sous-tendent au centre.

Un cercle de centre O. Deux tangentes BQ et BP sont tracées du point B au cercle .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Exemple 3 : Quelle fraction du cercle entier représente l'arc PQ dans la figure ci-dessous ?

Rejoignez PO et PR. Si ∠ PQR = 120° alors ∠ POR = 240° (L'angle sous-tendu au centre par un arc de cercle est le double de l'angle que cet arc sous-tend à n'importe quelle partie restante de la circonférence.)

240° = \(\frac{2}{3}\) de 360°, donc l'arc majeur PR est les deux tiers du cercle.

Exemple 4 : OP et OQ sont des tangentes. Si OP = 4 cm. Trouvez OQ.

Comme OP = 4, donc OQ = 4 (Si deux tangentes sont tracées à un cercle à partir d'un point extérieur sont de même longueur)