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चाप और खंड, स्पर्शरेखा

ज्यामिति में रेखाएँ और वृत्त महत्वपूर्ण प्राथमिक आकृतियाँ हैं। हम जानते हैं कि एक रेखा एक स्थिर दिशा में चलते हुए दो या दो से अधिक बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक पथ है जबकि वृत्त एक समतल में उन सभी बिंदुओं का एक समूह है जो किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर है। यहां हम वृत्त के महत्वपूर्ण गुणों पर विस्तार से चर्चा करेंगे।

• एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई एक सीधी रेखा जो व्यास नहीं है, जीवा पर लंबवत होती है।

AB केन्द्र O वाले वृत्त की एक जीवा है।

D, AB का मध्यबिंदु है और OD को जोड़ा जाता है तो \(OD \perp AB\)

इसका विपरीत भी सत्य है अर्थात वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींची गई एक सीधी रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है।

• एक ही सीधी रेखा में न रहने वाले तीन बिंदुओं के माध्यम से एक और केवल एक वृत्त खींचा जा सकता है।

• वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

केंद्र O वाले वृत्त में, जीवा AB = जीवा EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) तो \(OH = OD\)

इसका विपरीत भी सत्य है अर्थात् वृत्त की वे जीवाएँ जो केन्द्र से समान दूरी पर हों, बराबर होती हैं।

• यदि दो चाप केंद्र पर समान कोण बनाते हैं तो वे बराबर होते हैं।
• समान वृत्तों में या एक ही वृत्त में यदि दो जीवाएँ समान हों तो वे समान चाप काटती हैं।

चाप PMQ केंद्र पर ∠ POQ को अंतरित करता है, चाप ANB केंद्र पर ∠ AOB को अंतरित करता है और ∠ POQ = ∠ AOB को तब \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

यदि कॉर्ड PQ = कॉर्ड AB है तो \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

इसका विपरीत भी सत्य है अर्थात समान चाप केंद्र पर समान कोण बनाते हैं। और यदि दो चाप बराबर हों तो चाप की जीवाएँ भी बराबर होती हैं।

आइए उपरोक्त प्रमेयों के आधार पर कुछ प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए कि वृत्त की किन्हीं दो जीवाओं में से जो बड़ी है वह केंद्र के निकट है।

दिया गया है: AB > CD, सिद्ध करें: OP < OQ
जैसा
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
और OA = OC = वृत्त की त्रिज्या।
△ ओपीए में, ओए ² = एपी ² + ओपी ² और में △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
अर्थात, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² क्योंकि AP > CQ, इसलिए AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² या OQ > OP बनाने के लिए

उदाहरण 2 : O और Q केंद्र वाले समान वृत्त में, ∠DQE का माप ज्ञात करें

चूँकि \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , इसलिए ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• किसी वृत्त के चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण उस कोण का दोगुना होता है जो यह चाप परिधि के किसी भी शेष भाग पर बनाता है।
  
  केंद्र O वाला एक वृत्त जिसमें चाप AB केंद्र पर ∠ AOB और परिधि पर किसी भी बिंदु पर ∠ APB अंतरित करता है तो ∠ AOB = 2 ∠ APB

• एक वृत्त में कोण a

1. अर्धवृत्त एक समकोण है । (चित्र i)
2. अर्धवृत्त से बड़ा खंड समकोण से छोटा होता है। (चित्रा ii)
3. अर्धवृत्त से छोटा खंड समकोण से बड़ा होता है। (चित्र iii)

आकृति i में खंड ACB एक अर्धवृत्त है, इसलिए ∠ ACB = 90 ^o है, आकृति ii में खंड एक अर्धवृत्त से बड़ा है इसलिए ∠ ACB < 90 ^o है, आकृति iii में खंड ACB एक अर्धवृत्त से छोटा है और इसलिए ∠ ACB > 90 ^o

• वृत्त के एक ही खंड में कोण बराबर होते हैं।

AB एक खंड है जो ∠ 1, ∠ 2 और ∠ 3 को परिधि पर अंतरित करता है तो ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

यदि किसी चतुर्भुज के शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों तो उसे चक्रीय चतुर्भुज कहा जाता है।

∠ A + ∠ C = 180° और ∠ B + ∠ D = 180°

• वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा और इस बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या एक दूसरे पर लंबवत होती है।

O वृत्त का केंद्र है और AB बिंदु P पर वृत्त की स्पर्श रेखा है तो OP \(\perp\) AB है।

• यदि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाएँ तो:

1. स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है
2. स्पर्शरेखाएँ वृत्त के केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
3. वृत्त के बिंदु और केंद्र को मिलाने वाली रेखा पर स्पर्श रेखाएँ समान रूप से झुकी होती हैं।
4. स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण उस कोण का पूरक होता है जो वे केंद्र पर बनाते हैं।

केंद्र O वाला एक वृत्त। बिंदु B से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ BQ और BP खींची गई हैं ।

• पीबी = क्यूबी
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

उदाहरण 3: नीचे दिए गए चित्र में चाप PQ पूरे वृत्त का कौन सा अंश है?

पीओ और पीआर से जुड़ें. यदि ∠ PQR = 120° है तो ∠ POR = 240° (वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण उस कोण का दोगुना होता है जो यह चाप परिधि के किसी भी शेष भाग पर बनाता है।)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360° का, इसलिए दीर्घ चाप PR वृत्त का दो-तिहाई है।

उदाहरण 4: OP और OQ स्पर्शरेखाएँ हैं। यदि ओपी = 4 सेमी. OQ खोजें.

चूँकि OP = 4, इसलिए OQ = 4 (यदि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं तो उनकी लंबाई बराबर होती है)