Back to the topics list

luk i segment, tangens

Linije i krugovi su važne elementarne figure u geometriji. Znamo da je linija put kroz dvije ili više točaka koje se kreću u konstantnom smjeru, dok je kružnica skup svih onih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od neke fiksne točke. Ovdje ćemo detaljno raspravljati o važnim svojstvima kruga.

• Ravna crta povučena iz središta kruga da prepolovi tetivu koja nije promjer okomita je na tetivu.

AB je tetiva kruga sa središtem O.

D je središte od AB i OD je spojen tada \(OD \perp AB\)

Obrnuto od ovoga također vrijedi, tj. ravna crta povučena iz središta kružnice okomito na tetivu dijeli tetivu na pola.

• Kroz tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji može se povući jedna i samo jedna kružnica.

• Jednake tetive kružnice jednako su udaljene od središta.

U krugu sa središtem O, tetiva AB = tetiva EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) zatim \(OH = OD\)

Vrijedi i obrnuto od ovoga, tj. tetive kruga koje su jednako udaljene od središta su jednake.

• Ako dva luka spajaju jednake kutove u središtu, oni su jednaki.
• U jednakim kružnicama ili u istoj kružnici, ako su dvije tetive jednake, odsijecaju jednake lukove.

Luk PMQ graniči se s ∠ POQ u središtu, luk ANB graniči se s ∠ AOB u središtu i ∠ POQ = ∠ AOB zatim \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Ako je tetiva PQ = tetiva AB tada \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Obrnuto od ovoga također je istinito, tj. jednaki lukovi hvataju jednak kut u središtu. A ako su dva luka jednaka, tetive lukova su također jednake.

Pokušajmo riješiti nekoliko pitanja na temelju gornjih teorema.

Primjer 1: Dokažite da je od bilo koje dvije tetive kruga ona koja je veća bliža središtu.

Zadano je : AB > CD, dokažite : OP < OQ
Kao
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
I OA = OC = polumjer kruga.
U △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² i in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
tj. CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² kao AP > CQ, prema tome AP ² > CQ ²

da bi LHS = RHS, OQ ² > OP ² ili OQ > OP

Primjer 2 : U jednakoj kružnici sa središtima O i Q, pronađite mjeru ∠DQE

Kako je \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , dakle ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Kut koji spaja luk kružnice u središtu dvostruko je veći od kuta koji taj luk zatvara na bilo kojem preostalom dijelu opsega.
  
  Kružnica sa središtem O u kojoj luk AB spaja ∠ AOB u središtu i ∠ APB u bilo kojoj točki na obodu, tada je ∠ AOB = 2 ∠ APB

• U krugu kut u a

1. Polukrug je pravi kut . (slika i)
2. Segmenti veći od polukruga manji su od pravog kuta. (slika ii)
3. Isječak manji od polukruga veći je od pravog kuta. (slika iii)

segment ACB na slici i je polukrug, dakle ∠ ACB = 90 ^o , segment na slici ii je veći od polukruga stoga je ∠ ACB < 90 ^o , segment ACB je slika iii manji od polukruga i dakle ∠ ACB > 90 ^o

• Kutovi u istom segmentu kružnice su jednaki.

AB je segment koji spaja ∠ 1, ∠ 2 i ∠ 3 na obodu, tada je ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Suprotni kutovi cikličkog četverokuta su suplementni.

Ako vrhovi četverokuta leže na kružnici, naziva se ciklički četverokut.

∠ A + ∠ C = 180° i ∠ B + ∠ D = 180°

• Tangenta u bilo kojoj točki kružnice i polumjer kroz tu točku okomiti su jedan na drugi.

O je središte kružnice, a AB tangenta na kružnicu u točki P, zatim OP \(\perp\) AB.

• Ako su dvije tangente povučene na kružnicu iz vanjske točke, tada je:

1. Tangente su jednake duljine
2. Tangente spajaju jednake kutove u središtu kruga.
3. Tangente su jednako nagnute na pravac koji spaja točku i središte kružnice.
4. Kut između tangenti suplementaran je kutu koji spajaju u središtu.

Kružnica sa središtem O. Iz točke B na kružnicu povučene su dvije tangente BQ i BP .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Primjer 3: Koliki dio cijele kružnice čini luk PQ na donjoj slici?

Pridružite se PO i PR-u. Ako je ∠ PQR = 120° tada je ∠ POR = 240° (kut koji u središtu spaja luk kružnice dvostruki je kut koji taj luk zahvata na bilo kojem preostalom dijelu opsega.)

240° = \(\frac{2}{3}\) od 360°, stoga je veliki luk PR dvije trećine kruga.

Primjer 4: OP i OQ su tangente. Ako je OP = 4 cm. Pronađite OQ.

Kako je OP = 4, stoga je OQ = 4 (Ako su dvije tangente povučene na kružnicu iz vanjske točke jednake duljine)