Back to the topics list

busur dan segmen, garis singgung

Garis dan lingkaran merupakan figur dasar yang penting dalam geometri. Kita tahu bahwa garis adalah lintasan yang melalui dua titik atau lebih yang bergerak dalam arah tetap, sedangkan lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang jaraknya sama terhadap suatu titik tetap. Di sini kita akan membahas sifat-sifat penting lingkaran secara detail.

• Garis lurus yang ditarik dari pusat lingkaran hingga membagi dua tali busur yang bukan diameternya adalah tegak lurus tali busur tersebut.

AB adalah tali busur lingkaran yang berpusat di O.

D adalah titik tengah AB dan OD digabung maka \(OD \perp AB\)

Kebalikannya juga benar, yaitu garis lurus yang ditarik dari pusat lingkaran yang tegak lurus tali busur akan membagi dua tali busur tersebut.

• Satu dan hanya satu lingkaran dapat ditarik melalui tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama.

• Tali busur yang sama panjang pada sebuah lingkaran mempunyai jarak yang sama dari pusatnya.

Pada lingkaran yang berpusat di O, tali busur AB = tali busur EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) maka \(OH = OD\)

Kebalikannya juga benar, yaitu tali busur lingkaran yang berjarak sama dari pusat adalah sama besar.

• Jika dua busur membentuk sudut yang sama besar di pusatnya, maka keduanya sama besar.
• Dalam lingkaran yang sama atau dalam lingkaran yang sama jika dua tali busur sama panjang, mereka memotong busur yang sama besar.

Arc PMQ menggantikan ∠ POQ di tengah, Arc ANB menggantikan ∠ AOB di tengah dan ∠ POQ = ∠ AOB maka \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Jika Akor PQ = Akor AB maka \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Kebalikannya juga benar yaitu, busur-busur yang sama besar mempunyai sudut yang sama di pusatnya. Dan jika dua busur sama besar, maka tali busurnya juga sama besar.

Mari kita coba menyelesaikan beberapa pertanyaan berdasarkan teorema di atas.

Contoh 1: Buktikan bahwa di antara dua tali busur suatu lingkaran, tali busur yang lebih besar terletak lebih dekat ke pusat.

Diketahui : AB > CD, buktikan : OP < OQ
Sebagai
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Dan OA = OC = jari-jari lingkaran.
Dalam △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² dan masuk △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
yaitu CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² karena AP > CQ, maka AP ² > CQ ²

untuk membuat LHS = RHS, OQ ² > OP ² atau OQ > OP

Contoh 2 : Pada lingkaran yang sama pusatnya O dan Q, tentukan besar ∠DQE

Karena \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , maka ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Sudut yang dibentuk di pusat oleh busur suatu lingkaran adalah dua kali lipat sudut yang dibentuk oleh busur tersebut pada sisa keliling lingkaran.
  
  Sebuah lingkaran dengan pusat O yang busur ABnya membentuk ∠ AOB di pusatnya dan ∠ APB di sembarang titik pada kelilingnya, maka ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Dalam lingkaran sudut di a

1. Setengah lingkaran merupakan sudut siku-siku .(gambar i)
2. Ruas yang lebih besar dari setengah lingkaran kurang dari sudut siku-siku. (gambar ii)
3. Ruas yang kurang dari setengah lingkaran lebih besar dari sudut siku-siku. (gambar iii)

ruas ACB pada gambar i berbentuk setengah lingkaran maka ∠ ACB = 90 ^o , ruas pada gambar ii lebih besar dari setengah lingkaran maka ∠ ACB < 90 ^o , ruas ACB pada gambar iii lebih kecil dari setengah lingkaran dan oleh karena itu ∠ ACB > 90 ^o

• Sudut-sudut pada satu ruas lingkaran adalah sama besar.

AB adalah ruas yang terletak pada keliling ∠ 1, ∠ 2 dan ∠ 3 maka ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat siklik bersuplemen.

Jika titik-titik sudut suatu segi empat terletak pada suatu lingkaran maka disebut segi empat siklik.

∠ A + ∠ C = 180° dan ∠ B + ∠ D = 180°

• Garis singgung suatu titik pada lingkaran dan jari-jari yang melalui titik tersebut saling tegak lurus.

O adalah pusat lingkaran dan AB bersinggungan dengan lingkaran di titik P maka OP \(\perp\) AB.

• Jika dua garis singgung lingkaran ditarik dari sebuah titik luar, maka:

1. Garis singgungnya sama panjang
2. Garis singgungnya membentuk sudut yang sama besar di pusat lingkaran.
3. Garis singgungnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap garis yang menghubungkan titik dan pusat lingkaran.
4. Sudut antara garis singgung bersuplemen dengan sudut titik pusatnya.

Lingkaran dengan pusat O. Dua garis singgung BQ dan BP ditarik dari titik B ke lingkaran .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Contoh 3: Berapakah pecahan dari seluruh lingkaran yang merupakan busur PQ pada gambar di bawah?

Bergabunglah dengan PO dan PR. Jika ∠ PQR = 120° maka ∠ POR = 240° ( Sudut yang dibentuk di pusat oleh busur sebuah lingkaran adalah dua kali lipat sudut yang dibentuk oleh busur tersebut pada bagian lingkaran yang tersisa.)

240° = \(\frac{2}{3}\) dari 360°, maka busur mayor PR adalah dua pertiga lingkaran.

Contoh 4: OP dan OQ adalah garis singgung. Jika OP = 4cm. Temukan OQ.

Karena OP = 4, maka OQ = 4 (Jika dua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik luar sama panjang)