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arco e segmento, tangente

Linee e cerchi sono le figure elementari più importanti della geometria. Sappiamo che una linea è un percorso che passa attraverso due o più punti che si muovono in una direzione costante mentre il cerchio è un insieme di tutti i punti di un piano equidistanti da un punto fisso. Qui discuteremo in dettaglio le proprietà importanti di un cerchio.

• Una linea retta tracciata dal centro di un cerchio per dividere in due una corda che non sia un diametro è perpendicolare alla corda.

AB è la corda di una circonferenza di centro O.

D è il punto medio di AB e OD viene unito quindi \(OD \perp AB\)

È vero anche il contrario, cioè una linea retta tracciata dal centro di un cerchio perpendicolare ad una corda divide in due la corda.

• Per tre punti che non giacciono sulla stessa retta si può tracciare una ed una sola circonferenza.

• Le corde uguali di una circonferenza sono equidistanti dal centro.

In una circonferenza di centro O, corda AB = corda EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) quindi \(OH = OD\)

Vale anche il contrario, cioè le corde di una circonferenza equidistanti dal centro sono uguali.

• Se due archi sottendo angoli uguali al centro sono uguali.
• In cerchi uguali o nello stesso cerchio se due corde sono uguali tagliano archi uguali.

L'arco PMQ sottende ∠ POQ al centro, l'arco ANB sottende ∠ AOB al centro e ∠ POQ = ∠ AOB quindi \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Se Accordo PQ = Accordo AB allora \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

È vero anche il contrario, cioè archi uguali sottendono un angolo uguale al centro. E se due archi sono uguali sono uguali anche le corde degli archi.

Proviamo a risolvere alcune domande basate sui teoremi di cui sopra.

Esempio 1: Dimostrare che di due corde qualsiasi di una circonferenza, quella maggiore è più vicina al centro.

Dato: AB > CD, dimostrare: OP < OQ
COME
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
E OA = OC = raggio del cerchio.
In △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² e in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
cioè, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² come AP > CQ, quindi AP ² > CQ ²

per rendere LHS = RHS, OQ ² > OP ² o OQ > OP

Esempio 2 : In una circonferenza uguale con centri O e Q, trovare la misura di ∠DQE

Poiché \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , quindi ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• L'angolo sotteso al centro da un arco di cerchio è il doppio dell'angolo che questo arco sottende in ogni parte rimanente della circonferenza.
  
  Una circonferenza di centro O in cui l'arco AB sottende ∠ AOB al centro e ∠ APB in ogni punto della circonferenza allora ∠ AOB = 2 ∠ APB

• In un cerchio l'angolo in a

1. Il semicerchio è un angolo retto . (figura i)
2. I segmenti maggiori di un semicerchio sono minori di un angolo retto. (figura ii)
3. Un segmento minore di un semicerchio è maggiore di un angolo retto. (figura iii)

il segmento ACB in figura i è un semicerchio, quindi ∠ ACB = 90 ^o , il segmento in figura ii è maggiore di un semicerchio quindi ∠ ACB < 90 ^o , il segmento ACB in figura iii è inferiore a un semicerchio e quindi ∠ ACB > 90 ^o

• Gli angoli nello stesso segmento di cerchio sono uguali.

AB è un segmento che sottende ∠ 1, ∠ 2 e ∠ 3 alla circonferenza quindi ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Gli angoli opposti di un quadrilatero ciclico sono supplementari.

Se i vertici di un quadrilatero giacciono su una circonferenza si dice quadrilatero ciclico.

∠ A + ∠ C = 180° e ∠ B + ∠ D = 180°

• La tangente in ogni punto della circonferenza e il raggio che passa per questo punto sono perpendicolari tra loro.

O è il centro della circonferenza e AB è tangente alla circonferenza nel punto P quindi OP \(\perp\) AB.

• Se si tracciano due tangenti ad una circonferenza da un punto esterno allora:

1. Le tangenti hanno la stessa lunghezza
2. Le tangenti sottendono angoli uguali al centro della circonferenza.
3. Le tangenti sono equamente inclinate rispetto alla retta che congiunge il punto ed il centro della circonferenza.
4. L'angolo formato dalle tangenti è supplementare all'angolo che sottendo al centro.

Una circonferenza di centro O. Dal punto B alla circonferenza si tracciano due tangenti BQ e BP .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Esempio 3: Quale frazione dell'intero cerchio è l'arco PQ nella figura seguente?

Unisciti a PO e PR. Se ∠ PQR = 120° allora ∠ POR = 240° (L'angolo sotteso al centro da un arco di cerchio è doppio dell'angolo che questo arco sottende in ogni parte rimanente della circonferenza.)

240° = \(\frac{2}{3}\) di 360°, quindi l'arco maggiore PR è due terzi del cerchio.

Esempio 4: OP e OQ sono tangenti. Se OP = 4 cm. Trova OQ.

Poiché OP = 4, quindi OQ = 4 (Se due tangenti tracciate su una circonferenza da un punto esterno hanno la stessa lunghezza)