線と円は幾何学の重要な基本図形です。線は一定の方向に移動する 2 つ以上の点を通る経路であるのに対し、円はある固定点から等距離にある平面内のすべての点の集合であることがわかっています。ここでは、円の重要な性質について詳しく説明します。
ABは中心Oを持つ円の弦です。
D は AB の中点で、OD を結合すると\(OD \perp AB\)
これの逆も真です。つまり、弦に垂直な円の中心から引かれた直線は弦を二等分します。
中心がOの円では、コードAB = コードEFになります。 \(OH \perp EF , OD \perp AB \)そして\(OH = OD\)
これの逆も当てはまります。つまり、中心から等距離にある円の弦は等しいです。
円弧 PMQ は中心で ∠ POQ を囲み、円弧 ANB は中心で ∠ AOB を囲み、そして ∠ POQ = ∠ AOB の場合、 \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)
コード PQ = コード AB の場合、 \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)
これの逆も当てはまります。つまり、等しい円弧は中心で等しい角度を成します。そして、2 つの円弧が等しい場合、円弧の弦も等しくなります。
上記の定理に基づいていくつかの問題を解いてみましょう。
例 1:円の 2 つの弦のうち、大きい方が中心に近いことを証明します。
与えられた場合: AB > CD、証明: OP < OQ
として
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
そして、OA = OC = 円の半径です。
△ OPA では、OA 2 = AP 2 + OP 2となります。 △ OQC、OC 2 = CQ 2 + OQ 2
つまり、CQ 2 + OQ 2 = AP 2 + OP 2 (AP > CQ であるため、AP 2 > CQ 2)
LHS = RHS、OQ 2 > OP 2または OQ > OP にする
例 2 : O と Q を中心とする等円において、∠DQE の尺度を求める
\(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\)であるため、 ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24
∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°
図 i のセグメント ACB は半円であるため、∠ ACB = 90 ° 、図 ii のセグメントは半円より大きいため、∠ ACB < 90 ° 、図 iii のセグメント ACB は半円より小さく、したがって、∠ ACB > 90 o
AB は円周で ∠ 1、∠ 2、∠ 3 を囲む線分であり、∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 となります。
四角形の頂点が円上にある場合、その四角形は循環四角形と呼ばれます。
∠ A + ∠ C = 180° および ∠ B + ∠ D = 180°
O は円の中心で、AB は点 P で円に接しており、OP \(\perp\) AB となります。
中心 O を持つ円。2 つの接線 BQ および BP が点 B から円 に描かれます。
例 3:下の図の円弧 PQ は円全体の何分の 1 ですか?
POとPRに参加します。 ∠ PQR = 120° の場合、∠ POR = 240° (円の円弧が中心で定める角度は、この円弧が円周の残りの部分で定める角度の 2 倍です)。
240° = \(\frac{2}{3}\)の 360°、したがって、大弧 PR は円の 3 分の 2 になります。
例 4: OP と OQ は接線です。 OP = 4 cmの場合。 OQ を見つけます。
OP = 4 であるため、OQ = 4 (外部点から円に描かれた 2 つの接線の長さが等しい場合)
