Back to the topics list

лак и сегмент, тангента

Линиите и круговите се важни елементарни фигури во геометријата. Знаеме дека правата е патека низ две или повеќе точки кои се движат во постојан правец, додека кругот е збир на сите оние точки во рамнината што е подеднакво оддалечена од некоја фиксна точка. Овде детално ќе разговараме за важните својства на кругот.

• Права линија нацртана од центарот на кругот за да се преполоват акорд што не е дијаметар е нормална на акордот.

AB е акорд на круг со центар О.

D е средната точка на AB и OD се спојува тогаш \(OD \perp AB\)

Обратно од ова е исто така точно, т.е. права линија извлечена од центарот на круг нормална на акорд ја преполовува акордот.

• Еден и само еден круг може да се повлече низ три точки кои не лежат во иста права линија.

• Еднакви акорди на кругот се подеднакво оддалечени од центарот.

Во круг со центар О, акорд AB = акорд EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) потоа \(OH = OD\)

Обратно од ова е исто така точно, т.е. акорди на круг што се подеднакво оддалечени од центарот се еднакви.

• Ако два лака подзадаваат еднакви агли во центарот, тие се еднакви.
• Во еднакви кругови или во ист круг, ако два акорди се еднакви, тие ги отсекуваат еднаквите лакови.

Arc PMQ subtensions ∠ POQ во центарот, Arc ANB subtending ∠ AOB во центарот и ∠ POQ = ∠ AOB потоа \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Ако акорд PQ = акорд AB тогаш \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Спротивното на ова е исто така точно, т.е. еднакви лакови навлегуваат еднаков агол во центарот. И ако два лака се еднакви, акордите на лаковите се исто така еднакви.

Да се ​​обидеме да решиме неколку прашања врз основа на горенаведените теореми.

Пример 1: Докажете дека од било кои два акорда на кругот, оној што е поголем е поблиску до центарот.

Дадено : AB > CD, докажи : OP < OQ
Како
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
И OA = OC = радиус на кругот.
Во △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² и во △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
т.е. CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² како AP > CQ, затоа AP ² > CQ ²

да се направи LHS = RHS, OQ ² > OP ² или OQ > OP

Пример 2 : Во еднаква кружница со центри O и Q, најдете мерка ∠DQE

Како \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , затоа ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Аголот подвижен во центарот со лак од круг е двојно поголем од аголот што овој лак го поттегнува на кој било преостанат дел од обемот.
  
  Круг со центар O во кој лак AB се поднаклонува ∠ AOB во центарот и ∠ APB во која било точка на обемот, тогаш ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Во круг аголот во a

1. Полукругот е прав агол .(слика i)
2. Сегментите поголеми од полукругот се помали од прав агол. (слика II)
3. Сегмент помал од полукруг е поголем од прав агол. (слика iii)

отсечката ACB на сликата i е полукруг, затоа ∠ ACB = 90 ^o , отсечката на сликата ii е поголема од полукруг затоа ∠ ACB < 90 ^o , отсечката ACB е слика iii е помала од полукруг и затоа ∠ ACB > 90 ^o

• Аглите во истиот сегмент од кругот се еднакви.

AB е отсечка која се поднаклонува на ∠ 1, ∠ 2 и ∠ 3 на обемот, потоа ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Спротивниот агол на цикличниот четириаголник се дополнителни.

Ако темињата на четириаголник лежат на круг, тоа се нарекува цикличен четириаголник.

∠ A + ∠ C = 180° и ∠ B + ∠ D = 180°

• Тангентата во која било точка на кругот и радиусот низ оваа точка се нормални еден на друг.

O е центарот на кругот и AB е тангента на кругот во точката P, потоа OP \(\perp\) AB.

• Ако две тангенти се нацртани на круг од надворешна точка, тогаш:

1. Тангентите се еднакви по должина
2. Тангентите ги наведнуваат еднаквите агли во центарот на кругот.
3. Тангентите се подеднакво наклонети кон правата што ги спојува точката и центарот на кругот.
4. Аголот помеѓу тангентите е дополнителен на аголот што тие го наведнуваат во центарот.

Круг со центар O. Две тангенти BQ и BP се нацртани од точката B до кружницата .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Пример 3: Која дропка од целата кружница е лакот PQ на сликата подолу?

Придружете се на ПО и ПР. Ако ∠ PQR = 120° тогаш ∠ POR = 240° (Аголот што се подвиткува во центарот со лак на круг е двојно поголем од аголот што овој лак го подтегне на кој било преостанат дел од обемот.)

240° = \(\frac{2}{3}\) од 360°, затоа главниот лак PR е две третини од кругот.

Пример 4: OP и OQ се тангенти. Ако ОП = 4 см. Најдете OQ.

Како OP = 4, затоа OQ = 4 (Ако две тангенти се нацртани на круг од надворешна точка се еднакви по должина)