Back to the topics list

нуман ба сегмент, тангенс

Шугаман ба тойрог нь геометрийн чухал элемент юм. Шугам гэдэг нь тогтмол чиглэлд хөдөлж буй хоёр буюу түүнээс дээш цэгээр дамжин өнгөрөх зам, харин тойрог нь ямар нэгэн тогтмол цэгээс ижил зайд орших хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багц гэдгийг бид мэднэ. Энд бид тойргийн чухал шинж чанаруудыг нарийвчлан авч үзэх болно.

• Диаметргүй хөвчийг хоёр хуваахын тулд тойргийн төвөөс татсан шулуун шугам нь хөвчтэй перпендикуляр байна.

AB нь О төвтэй тойргийн хөвч юм.

D нь AB-ийн дунд цэг бөгөөд OD нэгдэж, дараа нь \(OD \perp AB\)

Үүний эсрэгээр нь бас үнэн, өөрөөр хэлбэл хөвч рүү перпендикуляр тойргийн төвөөс татсан шулуун шугам нь хөвчийг хоёр хуваана.

• Нэг шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэгээр ганцхан тойрог зурж болно.

• Тойргийн тэнцүү хөвчүүд нь төвөөс ижил зайд байрладаг.

О төвтэй тойрогт хөвч AB = хөвч EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) дараа нь \(OH = OD\)

Үүний эсрэгээр нь бас үнэн, өөрөөр хэлбэл төвөөс ижил зайд байгаа тойргийн хөвчүүд тэнцүү байна.

• Хэрэв хоёр нум төвдөө тэнцүү өнцөгтэй байвал тэдгээр нь тэнцүү байна.
• Тэнцүү тойрог эсвэл ижил тойрогт хоёр хөвч тэнцүү бол тэдгээр нь тэнцүү нумуудыг таслана.

Arc PMQ нь төвд ∠ POQ, Arc ANB нь төвд ∠ AOB, ∠ POQ = ∠ AOB дараа нь \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Хэрэв Chord PQ = Chord AB байвал \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Үүний эсрэг тал нь бас үнэн, өөрөөр хэлбэл, тэгш нумууд нь төв хэсэгт ижил өнцгөөр оршдог. Хэрэв хоёр нум тэнцүү бол нумын хөвчүүд нь тэнцүү байна.

Дээрх теоремууд дээр үндэслэн цөөн хэдэн асуултыг шийдэхийг хичээцгээе.

Жишээ 1: Тойргийн дурын хоёр хөвч нь төвдөө ойрхон байгааг батал.

Өгөгдсөн : AB > CD, нотлох : OP < OQ
гэх мэт
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Мөн OA = OC = тойргийн радиус.
△ OPA-д OA ² = AP ² + OP ² ба дотор △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
өөрөөр хэлбэл, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² нь AP > CQ, тиймээс AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² эсвэл OQ > OP болгох

Жишээ 2 : О ба Q төвтэй тэнцүү тойрогт ∠DQE хэмжигдэхүүнийг ол

\(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) тул ∠AOB = ∠DQE
5ж + 5 = 7у − 43 =>2у = 48 => у = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Тойргийн нумын төв хэсэгт байрлах өнцөг нь тойргийн үлдсэн хэсэгт энэ нумын өнцөгөөс хоёр дахин их байна.
  
  AB нум нь төвд ∠ AOB, тойргийн аль ч цэгт ∠ APB, дараа нь ∠ AOB = 2 ∠ APB байх О төвтэй тойрог.

• Тойрог дотор өнцөг нь а

1. Хагас тойрог нь зөв өнцөг юм .(зураг i)
2. Хагас тойргоос том хэсгүүд нь зөв өнцгөөс бага байна. (зураг ii)
3. Хагас тойргоос бага сегмент нь зөв өнцгөөс их байна. (зураг iii)

i зураг дээрх ACB сегмент нь хагас тойрог, тиймээс ∠ ACB = 90 ^o , ii зураг дээрх сегмент хагас тойргоос их тул ∠ ACB < 90 ^o , ACB сегмент iii зураг нь хагас тойргоос бага ба тиймээс ∠ ACB > 90 ^o

• Тойргийн нэг сегмент дэх өнцөг нь тэнцүү байна.

AB нь тойрог дээр ∠ 1, ∠ 2 ба ∠ 3-д багтсан хэрчим бөгөөд дараа нь ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 байна.

• Цикл дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцөг нь нэмэлт юм.

Дөрвөн өнцөгтийн оройнууд тойрог дээр байрладаг бол түүнийг мөчлөгт дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэдэг.

∠ A + ∠ C = 180° ба ∠ B + ∠ D = 180°

• Тойргийн аль ч цэг дэх шүргэгч ба энэ цэгээр дамжин өнгөрөх радиус нь бие биендээ перпендикуляр байна.

O нь тойргийн төв ба AB нь P цэг дээр тойрогтой шүргэгч, дараа нь OP \(\perp\) AB.

• Хэрэв гаднах цэгээс тойрог руу хоёр шүргэгч татвал:

1. Шүргэгчийн урт нь тэнцүү байна
2. Шүргэгч нь тойргийн төвд тэнцүү өнцөг үүсгэдэг.
3. Шүргэгч нь тойргийн цэг ба төвийг холбосон шулуун руу адилхан налуу байна.
4. Шүргэгчийн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн төвд байрлах өнцөгт нэмэлт юм.

О төвтэй тойрог. B цэгээс тойрог руу BQ ба BP хоёр шүргэгч татагдсан .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Жишээ 3: Доорх зураг дээрх PQ нуман бүх тойргийн хэдэн хэсэг вэ?

PO болон PR-д нэгдээрэй. Хэрэв ∠ PQR = 120° бол ∠ POR = 240° (Тойргийн нумын төв хэсэгт байрлах өнцөг нь тойргийн аль ч хэсэгт энэ нумын харгалзах өнцөгөөс хоёр дахин их байна.)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360°, тиймээс гол нумын PR нь тойргийн гуравны хоёр юм.

Жишээ 4: OP ба OQ нь шүргэгч юм. Хэрэв OP = 4 см. OQ олох.

OP = 4 тул OQ = 4 (Хэрэв гаднах цэгээс тойрог руу хоёр шүргэгч татсан бол урт нь тэнцүү)