Back to the topics list

चाप र खण्ड, ट्यान्जेन्ट

रेखाहरू र वृत्तहरू ज्यामितिमा महत्त्वपूर्ण प्राथमिक आंकडाहरू हुन्। हामी जान्दछौं कि रेखा भनेको दुई वा बढी बिन्दुहरूबाट एक स्थिर दिशामा सर्ने बाटो हो जबकि सर्कल कुनै निश्चित बिन्दुबाट समान रूपमा टाढा रहेको विमानमा ती सबै बिन्दुहरूको सेट हो। यहाँ हामी सर्कलको महत्त्वपूर्ण गुणहरू विस्तारमा छलफल गर्नेछौं।

• व्यास नभएको तारलाई सर्कलको केन्द्रबाट खिचिएको सिधा रेखा तारमा लम्ब हुन्छ।

AB केन्द्र O भएको वृत्तको तार हो।

D AB को मध्यबिन्दु हो र OD जोडिएपछि \(OD \perp AB\)

यसको कन्वर्स पनि सत्य हो, अर्थात् वृत्तको केन्द्रबाट तारमा लम्बिएको सिधा रेखाले तारलाई विभाजित गर्छ।

• एउटै सीधा रेखामा नराखेको तीनवटा बिन्दुहरू मार्फत एउटा मात्र वृत्त कोर्न सकिन्छ।

• वृत्तको समान तारहरू केन्द्रबाट समान दूरीमा छन्।

केन्द्र O भएको वृत्तमा, तार AB = तार EF। \(OH \perp EF , OD \perp AB \) त्यसपछि \(OH = OD\)

यसको कन्वर्स पनि साँचो हो अर्थात् केन्द्रबाट समान दूरीमा रहेको वृत्तका तारहरू बराबर हुन्छन्।

• यदि दुई आर्कहरू केन्द्रमा बराबर कोणहरू घटाउँछन् भने तिनीहरू बराबर हुन्छन्।
• बराबर सर्कलमा वा एउटै सर्कलमा यदि दुई तारहरू बराबर छन् भने, तिनीहरूले बराबर चापहरू काट्छन्।

आर्क PMQ ले ∠ POQ केन्द्रमा घटाउँछ, Arc ANB ले केन्द्रमा ∠ AOB र ∠ POQ = ∠ AOB त्यसपछि \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

यदि Chord PQ = Chord AB तब \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

यसको कन्भर्स पनि सत्य हो अर्थात्, समान चापले केन्द्रमा बराबर कोण घटाउँछ। र यदि दुई चाप बराबर छन् भने चापको तारहरू पनि बराबर छन्।

माथिका प्रमेयहरूमा आधारित केही प्रश्नहरू समाधान गर्ने प्रयास गरौं।

उदाहरण 1: वृत्तको कुनै पनि दुई तारहरू मध्ये एक ठूलो छ त्यो केन्द्रको नजिक छ भनेर प्रमाणित गर्नुहोस्।

दिइएको: AB > CD, प्रमाणित गर्नुहोस्: OP < OQ
जस्तै
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
र OA = OC = वृत्तको त्रिज्या।
△ OPA मा, OA ² = AP ² + OP ² र in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
अर्थात्, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² AP > CQ को रूपमा, त्यसैले AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² वा OQ > OP बनाउनको लागि

उदाहरण २ : केन्द्र O र Q सँग बराबर सर्कलमा, ∠DQE को नाप पत्ता लगाउनुहोस्

जस्तै \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , त्यसैले ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43 = 125°

• वृत्तको चापद्वारा केन्द्रमा घटाइएको कोण यो चाप परिधिको कुनै पनि बाँकी भागमा घटाउने कोणको दोब्बर हुन्छ।
  
  केन्द्र O भएको वृत्त जसमा चाप AB ले केन्द्रमा ∠ AOB र ∠ APB परिधिको कुनै पनि बिन्दुमा घटाउँछ त्यसपछि ∠ AOB = 2 ∠ APB

• वृत्तमा कोण a मा

1. अर्ध-वृत्त समकोण हो । (चित्र i)
2. अर्ध-वृत्त भन्दा ठूला खण्डहरू सही कोण भन्दा कम छन्। (चित्र ii)
3. अर्ध-वृत्त भन्दा कम खण्ड एक समकोण भन्दा ठूलो छ। (चित्र iii)

चित्र i मा खण्ड ACB अर्ध-वृत्त हो, त्यसैले ∠ ACB = 90 ^o , चित्र ii मा खण्ड अर्ध-वृत्त भन्दा ठूलो छ त्यसैले ∠ ACB < 90 ^o , खण्ड ACB अंक iii अर्ध-वृत्त भन्दा कम छ र त्यसैले ∠ ACB > 90 ^o

• वृत्तको एउटै खण्डमा कोणहरू बराबर हुन्छन्।

AB एउटा खण्ड हो जसले ∠ 1, ∠ 2 र ∠ 3 परिधिमा घटाउँछ त्यसपछि ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• चक्रीय चतुर्भुजको विपरित कोण पूरक हुन्।

यदि चतुर्भुजका शीर्षहरू वृत्तमा छन् भने यसलाई चक्रीय चतुर्भुज भनिन्छ।

∠ A + ∠ C = 180° र ∠ B + ∠ D = 180°

• वृत्तको कुनै पनि बिन्दुमा रहेको ट्यान्जेन्ट र यस बिन्दुको माध्यमबाट त्रिज्या एकअर्कामा लम्ब हुन्छ।

O वृत्तको केन्द्र हो र AB बिन्दु P मा वृत्तको स्पर्शरेखा हो त्यसपछि OP \(\perp\) AB।

• यदि बाहिरी बिन्दुबाट दुईवटा ट्यान्जेन्टहरू सर्कलमा कोरिएका छन् भने:

1. स्पर्शरेखाहरू लम्बाइमा बराबर छन्
2. स्पर्शरेखाहरू वृत्तको केन्द्रमा बराबर कोणहरू घटाउँछन्।
3. स्पर्शरेखाहरू बिन्दु र वृत्तको केन्द्रमा जोडिने रेखामा समान रूपमा झुकाव हुन्छन्।
4. ट्यान्जेन्टहरू बीचको कोण तिनीहरूले केन्द्रमा घटाउने कोणको पूरक हो।

केन्द्र O भएको वृत्त। BQ र BP बिन्दु B बाट वृत्तमा दुई स्पर्शरेखा कोरिन्छ ।

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

उदाहरण ३: तलको चित्रमा रहेको चाप PQ सम्पूर्ण वृत्तको कुन अंश हो?

PO र PR मा सामेल हुनुहोस्। यदि ∠ PQR = 120° हो भने ∠ POR = 240° ( वृत्तको चाप द्वारा केन्द्रमा घटाइएको कोण यो चाप परिधिको कुनै पनि बाँकी भागमा घटेको कोणको दोब्बर हुन्छ।)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360° को, त्यसैले मेजर आर्क PR सर्कलको दुई-तिहाई हो।

उदाहरण ४: OP र OQ स्पर्शरेखा हुन्। यदि OP = 4 सेमी। OQ खोज्नुहोस्।

OP = 4 को रूपमा, त्यसैले OQ = 4 (यदि बाहिरी बिन्दुबाट वृत्तमा दुईवटा स्पर्शरेखाहरू लम्बाइमा बराबर छन् भने)