Back to the topics list

boog en segment, raaklijn

Lijnen en cirkels zijn de belangrijke elementaire figuren in de meetkunde. We weten dat een lijn een pad is door twee of meer punten die in een constante richting bewegen, terwijl de cirkel een verzameling is van al die punten in een vlak dat even ver verwijderd is van een vast punt. Hier zullen we de belangrijke eigenschappen van een cirkel in detail bespreken.

• Een rechte lijn, getrokken vanuit het middelpunt van een cirkel, om een ​​akkoord dat geen diameter heeft, in tweeën te delen, staat loodrecht op het akkoord.

AB is een akkoord van een cirkel met middelpunt O.

D is het middelpunt van AB en OD wordt samengevoegd dan \(OD \perp AB\)

Het omgekeerde hiervan is ook waar, dwz een rechte lijn getrokken vanuit het middelpunt van een cirkel loodrecht op een akkoord doorsnijdt het akkoord.

• Er kan slechts één cirkel worden getekend door drie punten die niet in dezelfde rechte lijn liggen.

• Gelijke akkoorden van een cirkel liggen op gelijke afstand van het midden.

In een cirkel met middelpunt O is akkoord AB = akkoord EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) en vervolgens \(OH = OD\)

Het omgekeerde hiervan is ook waar, dwz akkoorden van een cirkel die op gelijke afstand van het midden liggen, zijn gelijk.

• Als twee bogen in het midden gelijke hoeken insluiten, zijn ze gelijk.
• In gelijke cirkels of in dezelfde cirkel als twee akkoorden gelijk zijn, snijden ze gelijke bogen af.

Arc PMQ onderspant ∠ POQ in het midden, Arc ANB onderspant ∠ AOB in het midden en ∠ POQ = ∠ AOB en vervolgens \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Als Akkoord PQ = Akkoord AB dan \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Het omgekeerde hiervan is ook waar, dat wil zeggen dat gelijke bogen een gelijke hoek in het midden insluiten. En als twee bogen gelijk zijn, zijn de akkoorden van de bogen ook gelijk.

Laten we proberen enkele vragen op te lossen op basis van de bovenstaande stellingen.

Voorbeeld 1: Bewijs dat van twee willekeurige akkoorden van een cirkel het grootste akkoord het dichtst bij het midden ligt.

Gegeven: AB > CD, bewijs: OP < OQ
Als
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
En OA = OC = cirkelstraal.
In △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² en in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
dat wil zeggen, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² als AP > CQ, dus AP ² > CQ ²

om LHS = RHS, OQ ² > OP ² of OQ > OP te maken

Voorbeeld 2 : Zoek in een gelijke cirkel met middelpunten O en Q de maat van ∠DQE

Als \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , dus ∠AOB = ∠DQE
5j + 5 = 7j − 43 =>2j = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• De hoek die in het midden wordt ingesloten door een cirkelboog is het dubbele van de hoek die deze boog insluit op het resterende deel van de omtrek.
  
  Een cirkel met middelpunt O waarin boog AB ∠ AOB in het midden en ∠ APB op elk punt op de omtrek omvat, dan ∠ AOB = 2 ∠ APB

• In een cirkel is de hoek in a

1. Halve cirkel is een rechte hoek . (Figuur i)
2. Segmenten groter dan een halve cirkel zijn kleiner dan een rechte hoek. (figuur ii)
3. Een segment kleiner dan een halve cirkel is groter dan een rechte hoek. (figuur iii)

segment ACB in figuur i is een halve cirkel, dus ∠ ACB = 90 ^o , het segment in figuur ii is groter dan een halve cirkel, dus ∠ ACB < 90 ^o , segment ACB is figuur iii is kleiner dan een halve cirkel en daarom ∠ ACB > 90 ^o

• Hoeken in hetzelfde cirkelsegment zijn gelijk.

AB is een segment dat ∠ 1, ∠ 2 en ∠ 3 aan de omtrek omvat, en dan ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• De tegenovergestelde hoek van een cyclische vierhoek is aanvullend.

Als de hoekpunten van een vierhoek op een cirkel liggen, wordt dit een cyclische vierhoek genoemd.

∠ A + ∠ C = 180° en ∠ B + ∠ D = 180°

• De raaklijn op elk punt van een cirkel en de straal door dit punt staan ​​loodrecht op elkaar.

O is het middelpunt van de cirkel en AB raakt de cirkel in punt P en vervolgens OP \(\perp\) AB.

• Als twee raaklijnen vanuit een extern punt aan een cirkel worden getrokken, dan:

1. De raaklijnen zijn even lang
2. De raaklijnen omvatten gelijke hoeken in het midden van de cirkel.
3. De raaklijnen zijn even hellend ten opzichte van de lijn die het punt en het middelpunt van de cirkel verbindt.
4. De hoek tussen de raaklijnen is een aanvulling op de hoek die ze in het midden insluiten.

Een cirkel met middelpunt O. Twee raaklijnen BQ en BP worden vanuit punt B naar de cirkel getrokken .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Voorbeeld 3: Welk deel van de hele cirkel is de boog PQ in de onderstaande afbeelding?

Doe mee met PO en PR. Als ∠ PQR = 120°, dan ∠ POR = 240° (De hoek die in het midden wordt ingesloten door een cirkelboog is het dubbele van de hoek die deze boog insluit op het resterende deel van de omtrek.)

240° = \(\frac{2}{3}\) van 360°, daarom is de Grote boog PR tweederde van de cirkel.

Voorbeeld 4: OP en OQ zijn raaklijnen. Als OP = 4 cm. Vind OQ.

Omdat OP = 4, dus OQ = 4 (als twee raaklijnen aan een cirkel worden getrokken vanuit een extern punt, zijn ze even lang)