Back to the topics list

łuk i segment, tangens

Linie i okręgi są ważnymi, podstawowymi figurami w geometrii. Wiemy, że linia to droga przechodząca przez dwa lub więcej punktów poruszających się w stałym kierunku, podczas gdy okrąg to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są jednakowo odległe od jakiegoś stałego punktu. Tutaj omówimy szczegółowo ważne właściwości okręgu.

• Linia prosta poprowadzona ze środka okręgu w celu przecięcia cięciwy niebędącej średnicą na pół jest prostopadła do cięciwy.

AB jest cięciwą okręgu o środku O.

D jest środkiem AB, a OD jest łączone wtedy \(OD \perp AB\)

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa, tj . linia prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy przecina cięciwę na pół.

• Przez trzy punkty nie leżące na tej samej linii prostej można poprowadzić jeden i tylko jeden okrąg.

• Równe cięciwy okręgu są w równej odległości od środka.

W okręgu o środku O cięciwa AB = cięciwa EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) wtedy \(OH = OD\)

Odwrotna sytuacja jest również prawdą, tj. cięciwy okręgu, które są w równej odległości od środka, są równe.

• Jeśli dwa łuki tworzą w środku równe kąty, są one równe.
• W równych okręgach lub w tym samym okręgu, jeśli dwa cięciwy są równe, odcinają równe łuki.

Arc PMQ wskazuje ∠ POQ w środku, Arc ANB wskazuje ∠ AOB w środku i ∠ POQ = ∠ AOB wtedy \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Jeśli Akord PQ = Akord AB, to \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa, tj. Równe łuki wyznaczają równy kąt w środku. A jeśli dwa łuki są równe, cięciwy łuków również są równe.

Spróbujmy rozwiązać kilka pytań w oparciu o powyższe twierdzenia.

Przykład 1: Udowodnij, że z dowolnych dwóch cięciw koła ta, która jest większa, znajduje się bliżej środka.

Biorąc pod uwagę: AB > CD, udowodnij: OP < OQ
Jak
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Oraz OA = OC = promień okręgu.
W △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² i in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
tj. CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² jako AP > CQ, zatem AP ² > CQ ²

aby LHS = RHS, OQ ² > OP ² lub OQ > OP

Przykład 2 : W równym okręgu o środkach O i Q znajdź miarę ∠DQE

As \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , zatem ∠AOB = ∠DQE
5 lat + 5 = 7 lat − 43 => 2 lata = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 - 43 = 125°

• Kąt utworzony w środku przez łuk koła jest dwukrotnie większy od kąta, jaki ten łuk tworzy w pozostałej części obwodu.
  
  Okrąg o środku O, w którym łuk AB opiera się na ∠ AOB w środku i ∠ APB w dowolnym punkcie obwodu, wówczas ∠ AOB = 2 ∠ APB

• W okręgu kąt w a

1. Półokrąg to kąt prosty . (rysunek i)
2. Odcinki większe od półkola są mniejsze od kąta prostego. (rysunek ii)
3. Odcinek mniejszy od półkola jest większy od kąta prostego. (rysunek iii)

odcinek ACB na rysunku i jest półkolem, zatem ∠ ACB = 90 ^o , odcinek na rysunku ii jest większy od półkola zatem ∠ ACB < 90 ^o , odcinek ACB na rysunku iii jest mniejszy niż półkole oraz zatem ∠ ACB > 90 ^o

• Kąty w tym samym segmencie koła są równe.

AB to odcinek, który opiera się na obwodzie ∠ 1, ∠ 2 i ∠ 3, a następnie ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Przeciwne kąty cyklicznego czworoboku są uzupełniające.

Jeśli wierzchołki czworoboku leżą na okręgu, nazywa się to czworokątem cyklicznym.

∠ A + ∠ C = 180° i ∠ B + ∠ D = 180°

• Styczna w dowolnym punkcie okręgu i promień przechodzący przez ten punkt są do siebie prostopadłe.

O jest środkiem okręgu, a AB jest styczna do okręgu w punkcie P, a następnie OP \(\perp\) AB.

• Jeżeli poprowadzono dwie styczne do okręgu z punktu zewnętrznego, to:

1. Styczne są równej długości
2. Styczne tworzą równe kąty w środku okręgu.
3. Styczne są jednakowo nachylone do linii łączącej punkt i środek okręgu.
4. Kąt między stycznymi jest uzupełnieniem kąta, który wyznaczają w środku.

Okrąg o środku O. Z punktu B do okręgu poprowadzono dwie styczne BQ i BP .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Przykład 3: Jaką część całego koła stanowi łuk PQ na poniższym rysunku?

Dołącz do PO i PR. Jeśli ∠ PQR = 120°, to ∠ POR = 240° (Kąt utworzony w środku przez łuk koła jest dwukrotnie większy od kąta, jaki ten łuk wyznacza w pozostałej części obwodu.)

240° = \(\frac{2}{3}\) wynoszące 360°, zatem łuk duży PR stanowi dwie trzecie okręgu.

Przykład 4: OP i OQ są stycznymi. Jeśli OP = 4 cm. Znajdź OQ.

Ponieważ OP = 4, zatem OQ = 4 (Jeśli dwie styczne do okręgu poprowadzone z punktu zewnętrznego mają tę samą długość)