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arco e segmento, tangente

Linhas e círculos são as figuras elementares importantes da geometria. Sabemos que uma reta é um caminho através de dois ou mais pontos que se movem numa direção constante, enquanto o círculo é um conjunto de todos os pontos num plano que está igualmente distante de algum ponto fixo. Aqui discutiremos em detalhes as propriedades importantes de um círculo.

• Uma linha reta traçada a partir do centro de um círculo para dividir uma corda que não é um diâmetro é perpendicular à corda.

AB é uma corda de um círculo com centro O.

D é o ponto médio de AB e OD é unido então \(OD \perp AB\)

O inverso disso também é verdadeiro, ou seja, uma linha reta traçada a partir do centro de um círculo perpendicular a uma corda corta a corda ao meio.

• Um e apenas um círculo pode ser traçado através de três pontos que não estejam na mesma linha reta.

• Acordes iguais de um círculo são equidistantes do centro.

Em um círculo com centro O, corda AB = corda EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) então \(OH = OD\)

O inverso disso também é verdadeiro, ou seja, as cordas de um círculo equidistantes do centro são iguais.

• Se dois arcos subentendem ângulos iguais no centro, eles são iguais.
• Em círculos iguais ou no mesmo círculo, se duas cordas forem iguais, eles cortam arcos iguais.

Arco PMQ subtende ∠ POQ no centro, Arco ANB subtende ∠ AOB no centro e ∠ POQ = ∠ AOB então \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Se Acorde PQ = Acorde AB então \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

O inverso disso também é verdadeiro, ou seja, arcos iguais subtendem ângulos iguais no centro. E se dois arcos são iguais, as cordas dos arcos também são iguais.

Vamos tentar resolver algumas questões com base nos teoremas acima.

Exemplo 1: Prove que de quaisquer duas cordas de um círculo, a que é maior está mais próxima do centro.

Dado: AB > CD, prove: OP < OQ
Como
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
E OA = OC = raio do círculo.
Em △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² e em △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
ou seja, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² como AP > CQ, portanto AP ² > CQ ²

para fazer LHS = RHS, OQ ² > OP ² ou OQ > OP

Exemplo 2 : Em um círculo igual com centros O e Q, encontre a medida de ∠DQE

Como \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , portanto ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• O ângulo subtendido no centro por um arco de círculo é o dobro do ângulo que este arco subentende em qualquer parte restante da circunferência.
  
  Um círculo com centro O em que o arco AB subtende ∠ AOB no centro e ∠ APB em qualquer ponto da circunferência então ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Em um círculo, o ângulo em um

1. Semicírculo é um ângulo reto . (figura i)
2. Segmentos maiores que um semicírculo são menores que um ângulo reto. (figura ii)
3. O segmento menor que um semicírculo é maior que um ângulo reto. (figura iii)

o segmento ACB na figura i é um semicírculo, portanto ∠ ACB = 90 ^o , o segmento na figura ii é maior que um semicírculo portanto ∠ ACB < 90 ^o , o segmento ACB é a figura iii é menor que um semicírculo e portanto ∠ ACB > 90 ^o

• Os ângulos no mesmo segmento de círculo são iguais.

AB é um segmento que subtende ∠ 1, ∠ 2 e ∠ 3 na circunferência então ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico são complementares.

Se os vértices de um quadrilátero estão em um círculo, ele é chamado de quadrilátero cíclico.

∠ A + ∠ C = 180° e ∠ B + ∠ D = 180°

• A tangente em qualquer ponto de um círculo e o raio que passa por esse ponto são perpendiculares entre si.

O é o centro do círculo e AB é tangente ao círculo no ponto P então OP \(\perp\) AB.

• Se duas tangentes são traçadas a um círculo a partir de um ponto externo, então:

1. As tangentes são iguais em comprimento
2. As tangentes subtendem ângulos iguais no centro do círculo.
3. As tangentes estão igualmente inclinadas em relação à linha que une o ponto e o centro do círculo.
4. O ângulo entre as tangentes é complementar ao ângulo que elas subentendem no centro.

Um círculo com centro O. Duas tangentes BQ e BP são traçadas do ponto B ao círculo .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Exemplo 3: Qual fração de todo o círculo é o arco PQ na figura abaixo?

Junte-se a PO e PR. Se ∠ PQR = 120° então ∠ POR = 240° (O ângulo subtendido no centro por um arco de círculo é o dobro do ângulo que este arco subentende em qualquer parte restante da circunferência.)

240° = \(\frac{2}{3}\) de 360°, portanto o arco maior PR é dois terços do círculo.

Exemplo 4: OP e OQ são tangentes. Se OP = 4 cm. Encontre OQ.

Como OP = 4, portanto OQ = 4 (se duas tangentes são traçadas a um círculo a partir de um ponto externo têm comprimento igual)