Back to the topics list

дуга и сегмент, касательная

Линии и круги — важные элементарные фигуры геометрии. Мы знаем, что линия — это путь через две или более точки, движущиеся в постоянном направлении, тогда как круг — это набор всех этих точек на плоскости, одинаково удаленных от некоторой фиксированной точки. Здесь мы подробно обсудим важные свойства круга.

• Прямая линия, проведенная из центра окружности и делящая пополам хорду, не являющуюся диаметром, перпендикулярна хорде.

АВ — хорда окружности с центром О.

D — середина AB и OD соединяется, тогда \(OD \perp AB\)

Верно и обратное утверждение: прямая линия, проведенная из центра круга перпендикулярно хорде, делит хорду пополам.

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну окружность.

• Равные хорды окружности равноудалены от центра.

В круге с центром О хорда AB = хорда EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) тогда \(OH = OD\)

Верно и обратное утверждение, т. е . хорды круга, равноудаленные от центра, равны.

• Если две дуги стягивают равные углы в центре, они равны.
• В равных окружностях или в одном круге, если две хорды равны, отсекают равные дуги.

Дуга PMQ стягивает ∠ POQ в центре, Дуга ANB стягивает ∠ AOB в центре и ∠ POQ = ∠ AOB, тогда \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Если хорда PQ = хорда AB, то \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Обратное утверждение также верно, т. е . равные дуги образуют равный угол в центре. А если две дуги равны, то хорды дуг также равны.

Попробуем решить несколько вопросов на основе приведенных выше теорем.

Пример 1: Докажите, что из любых двух хорд круга та, которая больше, находится ближе к центру.

Дано: AB > CD, докажите: OP < OQ.
Как
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
ОА = ОС = радиус круга.
В △ ОПА, ОА ² = АП ² + ОП ² и в △ ОКК, ОК ² = ОК ² + ОК ²
т. е. CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² , поскольку AP > CQ, следовательно, AP ² > CQ ²

чтобы сделать LHS = RHS, OQ ² > OP ² или OQ > OP

Пример 2. В равном круге с центрами O и Q найдите меру ∠DQE.

Поскольку \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , следовательно, ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 => 2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43 = 125°

• Угол, образуемый в центре дугой окружности, в два раза больше угла, который эта дуга образует в любой оставшейся части окружности.
  
  Круг с центром O, в котором дуга AB стягивает ∠ AOB в центре и ∠ APB в любой точке окружности, тогда ∠ AOB = 2 ∠ APB

• В круге угол в

1. Полукруг — это прямой угол (рис. i).
2. Отрезки больше полукруга меньше прямого угла. (рисунок ii)
3. Отрезок меньше полукруга больше прямого угла. (рисунок iii)

отрезок ACB на рисунке i представляет собой полукруг, поэтому ∠ ACB = 90 ^o , сегмент на рисунке ii больше полукруга, поэтому ∠ ACB < 90 ^o , отрезок ACB на рисунке iii меньше полукруга и следовательно, ∠ ACB > 90 ^o

• Углы в одном и том же отрезке круга равны.

AB - это отрезок, который стягивает ∠ 1, ∠ 2 и ∠ 3 по окружности, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.

Если вершины четырехугольника лежат на окружности, то он называется вписанным четырехугольником.

∠ A + ∠ C = 180° и ∠ B + ∠ D = 180°

• Касательная в любой точке окружности и радиус, проходящий через эту точку, перпендикулярны друг другу.

O — центр окружности, а AB касается окружности в точке P, тогда OP \(\perp\) AB.

• Если к окружности из внешней точки проведены две касательные, то:

1. Касательные равны по длине
2. Касательные образуют равные углы в центре круга.
3. Касательные одинаково наклонены к линии, соединяющей точку и центр окружности.
4. Угол между касательными является дополнительным к углу, который они образуют в центре.

Окружность с центром О. Из точки В к окружности проведены две касательные BQ и BP .

• ПБ = КБ
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ КБО = ∠ ПБО
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Пример 3. Какую часть всей окружности занимает дуга PQ на рисунке ниже?

Присоединяйтесь к ПО и PR. Если ∠ PQR = 120°, то ∠ POR = 240° (угол, образуемый в центре дугой окружности, в два раза больше угла, который эта дуга образует в любой оставшейся части окружности.)

240° = \(\frac{2}{3}\) из 360°, поэтому большая дуга PR составляет две трети окружности.

Пример 4: OP и OQ — касательные. Если ОП = 4 см. Найдите ОК.

Так как OP = 4, то OQ = 4 (Если к окружности проведены две касательные из внешней точки, они равны по длине)