Back to the topics list

harku dhe segmenti, tangjent

Vijat dhe rrathët janë figurat e rëndësishme elementare në gjeometri. Ne e dimë se një vijë është një shteg përmes dy ose më shumë pikave që lëvizin në një drejtim konstant ndërsa rrethi është një grup i të gjitha atyre pikave në një plan që është po aq i largët nga një pikë fikse. Këtu do të diskutojmë në detaje veçoritë e rëndësishme të një rrethi.

• Një vijë e drejtë e tërhequr nga qendra e një rrethi për të përgjysmuar një kordë që nuk është një diametër është pingul me kordën.

AB është një kordë e një rrethi me qendër O.

D është mesi i AB dhe OD bashkohet atëherë \(OD \perp AB\)

E kundërta e kësaj është gjithashtu e vërtetë, dmth., një vijë e drejtë e tërhequr nga qendra e një rrethi pingul me një kordë e përgjysmon kordon.

• Një dhe vetëm një rreth mund të tërhiqet përmes tre pikave që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

• Kordat e barabarta të një rrethi janë të barabarta nga qendra.

Në një rreth me qendër O, korda AB = korda EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) pastaj \(OH = OD\)

E kundërta e kësaj është gjithashtu e vërtetë, p.sh., kordat e një rrethi që janë të barabarta nga qendra janë të barabarta.

• Nëse dy harqe nënshtrojnë kënde të barabarta në qendër, ato janë të barabarta.
• Në rrathë të barabartë ose në të njëjtin rreth nëse dy korda janë të barabarta, ato presin harqe të barabarta.

Harku PMQ nënshtrohet ∠ POQ në qendër, harku ANB nënshtrohet ∠ AOB në qendër dhe ∠ POQ = ∠ AOB pastaj \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Nëse korda PQ = Akord AB atëherë \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

E kundërta e kësaj është gjithashtu e vërtetë, dmth., harqet e barabartë nënshtrojnë kënd të barabartë në qendër. Dhe nëse dy harqe janë të barabarta, kordat e harqeve janë gjithashtu të barabarta.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa pyetje bazuar në teoremat e mësipërme.

Shembulli 1: Vërtetoni se nga çdo dy korda të një rrethi, ajo që është më e madhe është më afër qendrës.

Jepet : AB > CD, provo : OP < OQ
Si
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Dhe OA = OC = rrezja e rrethit.
Në △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² dhe në △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
dmth, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² si AP > CQ, prandaj AP ² > CQ ²

për të bërë LHS = RHS, OQ ² > OP ² ose OQ > OP

Shembulli 2 : Në rreth të barabartë me qendrat O dhe Q, gjeni masën ∠DQE

Si \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , prandaj ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Këndi i nënshtruar në qendër nga një hark rrethi është dyfishi i këndit që ky hark shtrihet në çdo pjesë të mbetur të perimetrit.
  
  Një rreth me qendër O në të cilin harku AB nënshtrohet ∠ AOB në qendër dhe ∠ APB në çdo pikë të perimetrit, atëherë ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Në një rreth këndi në a

1. Gjysmërrethi është një kënd i drejtë .(figura i)
2. Segmentet më të mëdha se një gjysmërreth është më i vogël se një kënd i drejtë. (figura ii)
3. Segmenti më i vogël se një gjysmërreth është më i madh se një kënd i drejtë. (figura iii)

segmenti ACB në figurën i është një gjysmërreth, prandaj ∠ ACB = 90 ^o , segmenti në figurën ii është më i madh se një gjysmërreth prandaj ∠ ACB < 90 ^o , segmenti ACB është figura iii është më i vogël se një gjysmërreth dhe prandaj ∠ ACB > 90 ^o

• Këndet në të njëjtin segment të rrethit janë të barabartë.

AB është një segment që nëntendohet ∠ 1, ∠ 2 dhe ∠ 3 në perimetër pastaj ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Këndi i kundërt i një katërkëndëshi ciklik janë plotësues.

Nëse kulmet e një katërkëndëshi shtrihen në një rreth, ai quhet katërkëndësh ciklik.

∠ A + ∠ C = 180° dhe ∠ B + ∠ D = 180°

• Tangjentja në çdo pikë të rrethit dhe rrezja nëpër këtë pikë janë pingul me njëra-tjetrën.

O është qendra e rrethit dhe AB është tangjente me rrethin në pikën P pastaj OP \(\perp\) AB.

• Nëse dy tangjente tërhiqen në një rreth nga një pikë e jashtme, atëherë:

1. Tangjentet janë të barabarta në gjatësi
2. Tangjentet nënshtrojnë kënde të barabarta në qendër të rrethit.
3. Tangjentet janë të prirura në mënyrë të barabartë me vijën që bashkon pikën dhe qendrën e rrethit.
4. Këndi ndërmjet tangjentave është plotësues i këndit që ato nënshtrohen në qendër.

Një rreth me qendër O. Dy tangjente BQ dhe BP janë tërhequr nga pika B në rreth .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Shembulli 3: Cila pjesë e të gjithë rrethit është harku PQ në figurën e mëposhtme?

Bashkohuni me PO dhe PR. Nëse ∠ PQR = 120°, atëherë ∠ POR = 240° (Këndi i nënshtruar në qendër nga një hark i një rrethi është dyfishi i këndit që ky hark shtrihet në çdo pjesë të mbetur të perimetrit.)

240° = \(\frac{2}{3}\) prej 360°, prandaj harku i madh PR është dy të tretat e rrethit.

Shembulli 4: OP dhe OQ janë tangjente. Nëse OP = 4 cm. Gjeni OQ.

Si OP = 4, prandaj OQ = 4 (Nëse dy tangjente tërhiqen në një rreth nga një pikë e jashtme janë të barabarta në gjatësi)