Back to the topics list

båge och segment, tangent

Linjer och cirklar är de viktiga elementära figurerna i geometri. Vi vet att en linje är en väg genom två eller flera punkter som rör sig i en konstant riktning, medan cirkeln är en uppsättning av alla dessa punkter i ett plan som är lika långt från någon fast punkt. Här kommer vi att diskutera de viktiga egenskaperna hos en cirkel i detalj.

• En rät linje som dras från mitten av en cirkel för att dela ett korda som inte är en diameter är vinkelrät mot kordan.

AB är ett ackord i en cirkel med centrum O.

D är mittpunkten av AB och OD är sammanfogad sedan \(OD \perp AB\)

Motsatsen till detta är också sant, dvs. en rät linje dragen från centrum av en cirkel vinkelrät mot ett korda halverar kordan.

• En och endast en cirkel kan ritas genom tre punkter som inte ligger i samma räta linje.

• Lika ackord i en cirkel är lika långt från mitten.

I en cirkel med centrum O, ackord AB = ackord EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) sedan \(OH = OD\)

Motsatsen till detta är också sant, dvs. ackord i en cirkel som är lika långt från mitten är lika.

• Om två bågar har lika stora vinklar i mitten är de lika.
• I lika cirklar eller i samma cirkel om två ackord är lika, skär de av lika bågar.

Arc PMQ subtends ∠ POQ i mitten, Arc ANB subtends ∠ AOB i mitten och ∠ POQ = ∠ AOB sedan \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Om Chord PQ = Chord AB så \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Motsatsen till detta är också sant, dvs lika bågar har lika vinkel i mitten. Och om två bågar är lika är ackorden i bågarna också lika.

Låt oss försöka lösa några frågor baserat på ovanstående satser.

Exempel 1: Bevisa att av alla två ackord i en cirkel, är den som är större närmare mitten.

Givet : AB > CD, bevisa : OP < OQ
Som
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Och OA = OC = cirkelradien.
I △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² och in △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
dvs CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² som AP > CQ, därför AP ² > CQ ²

för att göra LHS = RHS, OQ ² > OP ² eller OQ > OP

Exempel 2 : Hitta måttet på ∠DQE i lika cirkel med mittpunkterna O och Q

Som \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , därför ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Vinkeln som täcks i mitten av en cirkelbåge är dubbelt så stor som vinkeln som denna båge understryker vid någon återstående del av omkretsen.
  
  En cirkel med mitten O i vilken båge AB ligger ∠ AOB i mitten och ∠ APB vid vilken punkt som helst på omkretsen då ∠ AOB = 2 ∠ APB

• I en cirkel vinkeln i a

1. Halvcirkel är en rät vinkel .(figur i)
2. Segment större än en halvcirkel är mindre än en rät vinkel. (figur ii)
3. Segment mindre än en halvcirkel är större än en rät vinkel. (figur iii)

segment ACB i figur i är en halvcirkel, därför är ∠ ACB = 90 ^o , segmentet i figur ii är större än en halvcirkel därför ∠ ACB < 90 ^o , segment ACB är figur iii är mindre än en halvcirkel och därför ∠ ACB > 90 ^o

• Vinklar i samma segment av en cirkel är lika.

AB är ett segment som underordnar ∠ 1, ∠ 2 och ∠ 3 vid omkretsen sedan ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Den motsatta vinkeln på en cyklisk fyrhörning är kompletterande.

Om hörnen på en fyrhörning ligger på en cirkel kallas det en cyklisk fyrhörning.

∠ A + ∠ C = 180° och ∠ B + ∠ D = 180°

• Tangenten vid valfri punkt i en cirkel och radien genom denna punkt är vinkelräta mot varandra.

O är cirkelns centrum och AB tangerar cirkeln i punkten P och sedan OP \(\perp\) AB.

• Om två tangenter dras till en cirkel från en yttre punkt då:

1. Tangenterna är lika långa
2. Tangenterna har lika stora vinklar i mitten av cirkeln.
3. Tangenterna lutar lika mycket mot linjen som förenar punkten och cirkelns mittpunkt.
4. Vinkeln mellan tangenterna är ett komplement till vinkeln som de bildar i mitten.

En cirkel med centrum O. Två tangenter BQ och BP ritas från punkt B till cirkeln .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Exempel 3: Vilken del av hela cirkeln är bågen PQ i figuren nedan?

Gå med i PO och PR. Om ∠ PQR = 120° så är ∠ POR = 240° (Vinkeln som täcks i mitten av en cirkelbåge är dubbelt så stor som vinkeln som denna båge understryker vid någon återstående del av omkretsen.)

240° = \(\frac{2}{3}\) av 360°, därför är den stora bågen PR två tredjedelar av cirkeln.

Exempel 4: OP och OQ är tangenter. Om OP = 4 cm. Hitta OQ.

Eftersom OP = 4, därför OQ = 4 (Om två tangenter dras till en cirkel från en yttre punkt är lika långa)