Back to the topics list

arc na sehemu, tangent

Mistari na miduara ni takwimu muhimu za msingi katika jiometri. Tunajua kuwa mstari ni njia kupitia nukta mbili au zaidi zinazosogea katika mwelekeo thabiti ilhali duara ni seti ya pointi hizo zote katika ndege ambayo iko mbali sawa na sehemu fulani isiyobadilika. Hapa tutajadili mali muhimu ya mduara kwa undani.

• Mstari wa moja kwa moja uliochorwa kutoka katikati ya mduara ili kugawanya chord ambayo si kipenyo ni perpendicular kwa chord.

AB ni chord ya duara yenye kituo cha O.

D ndio katikati ya AB na OD imeunganishwa kisha \(OD \perp AB\)

Mazungumzo ya hili pia ni kweli yaani, mstari ulionyooka kutoka katikati ya duara perpendicular kwa chord hutenganisha chord.

• Mduara mmoja na mmoja tu unaweza kuchorwa kupitia alama tatu ambazo haziko kwenye mstari sawa.

• Chords sawa za duara ziko sawa kutoka katikati.

Katika mduara wenye kituo O, chord AB = chord EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) kisha \(OH = OD\)

Mazungumzo ya hii pia ni kweli, yaani, chords ya duara ambayo ni equidistant kutoka katikati ni sawa.

• Ikiwa safu mbili zinapunguza pembe sawa katikati zitakuwa sawa.
• Katika miduara sawa au katika mduara sawa ikiwa chodi mbili ni sawa, hukata arcs sawa.

Arc PMQ inawasilisha ∠ POQ katikati, Arc ANB inainamisha ∠ AOB katikati na ∠ POQ = ∠ AOB kisha \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Ikiwa Chord PQ = Chord AB basi \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Mazungumzo ya hii pia ni kweli yaani, arcs Equal subtend angle sawa katikati. Na ikiwa arcs mbili ni sawa chords za arcs pia ni sawa.

Wacha tujaribu kujibu maswali machache kulingana na nadharia zilizo hapo juu.

Mfano 1: Thibitisha kwamba kati ya chodi zozote mbili za duara, ile iliyo kubwa iko karibu na katikati.

Kwa kuzingatia : AB > CD, thibitisha : OP < OQ
Kama
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Na OA = OC = radius ya duara.
Katika △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² na ndani △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
yaani, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² kama AP > CQ, kwa hivyo AP ² > CQ ²

kutengeneza LHS = RHS, OQ ² > OP ² au OQ > OP

Mfano 2 : Katika mduara sawa na vituo O na Q, tafuta kipimo cha ∠DQE

Kama \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , kwa hivyo ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Pembe iliyopunguzwa katikati na safu ya duara ni pembe mara mbili ambayo safu hii inapunguza katika sehemu yoyote iliyobaki ya mduara.
  
  Mduara ulio na kituo O ambapo arc AB inainamisha ∠ AOB katikati na ∠ APB katika hatua yoyote kwenye mzingo kisha ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Katika mduara pembe katika a

1. Nusu mduara ni pembe ya kulia .(takwimu i)
2. Sehemu kubwa kuliko nusu duara ni chini ya pembe ya kulia. (takwimu ii)
3. Sehemu iliyo chini ya nusu-duara ni kubwa kuliko pembe ya kulia. (takwimu iii)

sehemu ya ACB katika kielelezo i ni nusu-duara, kwa hiyo ∠ ACB = 90 ^o , sehemu katika mchoro ii ni kubwa kuliko nusu duara kwa hiyo ∠ ACB < 90 ^o , sehemu ya ACB ni kielelezo iii ni chini ya nusu-duara na kwa hivyo ∠ ACB > 90 ^o

• Pembe katika sehemu sawa ya duara ni sawa.

AB ni sehemu inayowasilisha ∠ 1, ∠ 2 na ∠ 3 kwenye mduara kisha ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Pembe kinyume cha robo ya mzunguko ni ya ziada.

Ikiwa vipeo vya pembe nne vinalala kwenye duara, inaitwa cyclic quadrilateral.

∠ A + ∠ C = 180° na ∠ B + ∠ D = 180°

• Tanjenti katika hatua yoyote ya mduara na radius kupitia hatua hii ni perpendicular kwa kila mmoja.

O ni kitovu cha duara na AB ni tanjiti ili kuzunguka kwa uhakika P kisha OP \(\perp\) AB.

• Ikiwa tanjiti mbili zimechorwa kwa duara kutoka kwa sehemu ya nje basi:

1. Tangents ni sawa kwa urefu
2. Tangenti hupunguza pembe sawa katikati ya duara.
3. Tangenti zimeelekezwa kwa usawa kwenye mstari unaounganisha hatua na katikati ya duara.
4. Pembe kati ya tanjenti ni ya ziada kwa pembe ambayo wanainamisha katikati.

Mduara wenye O katikati. Tanjenti mbili za BQ na BP zimechorwa kutoka sehemu B hadi duara .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Mfano 3: Je! ni sehemu gani ya duara nzima ambayo ni arc PQ kwenye takwimu iliyo hapa chini?

Jiunge na PO na PR. Iwapo ∠ PQR = 120° basi ∠ POR = 240° ( Pembe iliyopunguzwa katikati na safu ya duara ni pembe mbili ambayo safu hii inainamisha katika sehemu yoyote iliyobaki ya mduara.)

240° = \(\frac{2}{3}\) ya 360°, kwa hiyo Major arc PR ni theluthi mbili ya duara.

Mfano wa 4: OP na OQ ni tanjiti. Ikiwa OP = 4 cm. Tafuta OQ.

Kama OP = 4, kwa hivyo OQ = 4 (Ikiwa tangenti mbili zimechorwa kwa duara kutoka kwa ncha ya nje ni sawa kwa urefu)