Back to the topics list

ส่วนโค้งและส่วน, แทนเจนต์

เส้นและวงกลมเป็นตัวเลขเบื้องต้นที่สำคัญในเรขาคณิต เรารู้ว่าเส้นตรงคือเส้นทางที่ผ่านจุดสองจุดขึ้นไปซึ่งเคลื่อนที่ในทิศทางคงที่ ในขณะที่วงกลมคือเซตของจุดเหล่านั้นทั้งหมดในระนาบที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่งเท่ากัน ที่นี่เราจะพูดถึงคุณสมบัติที่สำคัญของวงกลมโดยละเอียด

• เส้นตรงที่ลากจากศูนย์กลางของวงกลมเพื่อแบ่งคอร์ดที่ไม่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจะตั้งฉากกับคอร์ด

AB คือคอร์ดของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O

D เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ OD ถูกเชื่อมเข้าด้วยกัน จากนั้น \(OD \perp AB\)

ความขัดแย้งนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ เส้นตรงที่ลากมาจากจุดศูนย์กลางของวงกลมตั้งฉากกับคอร์ดจะแบ่งคอร์ดออกเป็นสองส่วน

• วงกลมหนึ่งวงเท่านั้นที่สามารถลากผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

• คอร์ดที่เท่ากันของวงกลมจะมีระยะห่างเท่ากันจากจุดศูนย์กลาง

ในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O คอร์ด AB = คอร์ด EF \(OH \perp EF , OD \perp AB \) จากนั้น \(OH = OD\)

ความขัดแย้งนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ คอร์ดของวงกลมที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากันจะเท่ากัน

• หากส่วนโค้งสองส่วนรองรับมุมเท่ากันที่จุดศูนย์กลาง มุมทั้งสองจะเท่ากัน
• ในวงกลมที่เท่ากันหรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าสองคอร์ดเท่ากัน ก็จะตัดส่วนโค้งที่เท่ากันออก

Arc PMQ รองรับ ∠ POQ ที่ตรงกลาง Arc ANB รองรับ ∠ AOB ที่ตรงกลาง และ ∠ POQ = ∠ AOB จากนั้น \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

ถ้าคอร์ด PQ = คอร์ด AB แล้ว \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

ความขัดแย้งนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ส่วนโค้งเท่ากันรองรับมุมที่เท่ากันที่จุดศูนย์กลาง และ ถ้าสองส่วนโค้งเท่ากัน คอร์ดของส่วนโค้งก็จะเท่ากันด้วย

ให้เราลองแก้คำถามสองสามข้อตามทฤษฎีบทข้างต้น

ตัวอย่างที่ 1: พิสูจน์ว่าสองคอร์ดใดๆ ของวงกลม คอร์ดใดคอร์ดที่มากกว่าจะอยู่ใกล้ศูนย์กลางมากกว่า

ให้ไว้ : AB > CD, พิสูจน์ : OP < OQ
เช่น
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
และ OA = OC = รัศมีของวงกลม
ใน △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² และใน △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
เช่น CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² เป็น AP > CQ ดังนั้น AP ² > CQ ²

เพื่อสร้าง LHS = RHS, OQ ² > OP ² หรือ OQ > OP

ตัวอย่างที่ 2 : ในวงกลมเท่ากันโดยมีจุดศูนย์กลาง O และ Q ให้หาค่าของ ∠DQE

เนื่องจาก \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) ดังนั้น ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y - 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• มุมที่ต่อที่จุดศูนย์กลางด้วยส่วนโค้งของวงกลมจะเป็นสองเท่าของมุมที่ส่วนโค้งนี้รองรับที่ส่วนที่เหลือของเส้นรอบวง
  
  วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O โดยส่วนโค้ง AB ค้ำจุน ∠ AOB ที่จุดศูนย์กลาง และ ∠ APB ที่จุดใดก็ได้บนเส้นรอบวง จากนั้น ∠ AOB = 2 ∠ APB

• ในวงกลมมุมใน a

1. ครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก (รูปที่ i)
2. ส่วนที่มีขนาดใหญ่กว่าครึ่งวงกลมจะน้อยกว่ามุมฉาก (รูปที่ 2)
3. ส่วนที่น้อยกว่าครึ่งวงกลมมีค่ามากกว่ามุมขวา (รูปที่ 3)

ส่วน ACB ในรูป i เป็นครึ่งวงกลม ดังนั้น ∠ ACB = 90 ^o ส่วนในรูปที่ ii มากกว่าครึ่งวงกลม ดังนั้น ∠ ACB < 90 ^o ส่วน ACB คือรูปที่ iii น้อยกว่าครึ่งวงกลม และ ดังนั้น ∠ ACB > 90 ^o

• มุมในส่วนเดียวกันของวงกลมจะเท่ากัน

AB คือส่วนที่ต่อท้าย ∠ 1, ∠ 2 และ ∠ 3 ที่เส้นรอบวง จากนั้น ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากประกอบกัน

ถ้าจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมอยู่บนวงกลม เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมวงกลม

∠ A + ∠ C = 180° และ ∠ B + ∠ D = 180°

• เส้นสัมผัสที่จุดใดๆ ของวงกลมและรัศมีที่ผ่านจุดนี้ตั้งฉากกัน

O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ AB สัมผัสกับวงกลมที่จุด P จากนั้น OP \(\perp\) AB

• หากลากแทนเจนต์สองตัวจากจุดภายนอกไปที่วงกลมแล้ว:

1. แทนเจนต์มีความยาวเท่ากัน
2. แทนเจนต์มีมุมเท่ากันที่ศูนย์กลางของวงกลม
3. เส้นสัมผัสกันมีความโน้มเอียงเท่ากันกับเส้นที่เชื่อมจุดและศูนย์กลางของวงกลม
4. มุมระหว่างแทนเจนต์เป็นส่วนเสริมของมุมที่มันรองรับที่จุดศูนย์กลาง

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O แทนเจนต์ BQ และ BP สองตัวถูกลากจากจุด B ไปยัง วงกลม

• PB = คิวบี
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ คิวบีโอ = ∠ พีบีโอ
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

ตัวอย่างที่ 3: ส่วนโค้ง PQ ในรูปด้านล่างนี้คือเศษส่วนของวงกลมทั้งหมด

เข้าร่วม PO และ PR ถ้า ∠ PQR = 120° ดังนั้น ∠ POR = 240° ( มุมที่ต่อที่ศูนย์กลางด้วยส่วนโค้งของวงกลมจะเป็นสองเท่าของมุมที่ส่วนโค้งนี้รองรับที่ส่วนที่เหลือของเส้นรอบวง)

240° = \(\frac{2}{3}\) ของ 360° ดังนั้น PR ส่วนโค้งหลักจึงเท่ากับสองในสามของวงกลม

ตัวอย่างที่ 4: OP และ OQ เป็นเส้นสัมผัสกัน ถ้า OP = 4 ซม. ค้นหาโอคิว

เมื่อ OP = 4 ดังนั้น OQ = 4 (หากเส้นสัมผัสสองเส้นถูกลากจากจุดภายนอกไปยังวงกลมจะมีความยาวเท่ากัน)