Back to the topics list

arko at segment, tangent

Ang mga linya at bilog ay ang mahahalagang numero ng elementarya sa geometry. Alam namin na ang isang linya ay isang landas sa dalawa o higit pang mga punto na gumagalaw sa isang pare-parehong direksyon samantalang ang bilog ay isang set ng lahat ng mga puntong iyon sa isang eroplano na pantay na malayo sa ilang nakapirming punto. Dito ay tatalakayin natin nang detalyado ang mahahalagang katangian ng isang bilog.

• Ang isang tuwid na linya na iginuhit mula sa gitna ng isang bilog upang hatiin ang isang chord na hindi isang diameter ay patayo sa chord.

Ang AB ay isang chord ng isang bilog na may gitnang O.

Ang D ay ang midpoint ng AB at ang OD ay pinagsama pagkatapos \(OD \perp AB\)

Ang kabaligtaran nito ay totoo din ibig sabihin, ang isang tuwid na linya na iginuhit mula sa gitna ng isang bilog na patayo sa isang chord ay naghahati sa chord.

• Isa at isang bilog lamang ang maaaring iguhit sa pamamagitan ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.

• Ang mga pantay na chord ng isang bilog ay katumbas ng layo mula sa gitna.

Sa isang bilog na may gitnang O, chord AB = chord EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) pagkatapos ay \(OH = OD\)

Ang kabaligtaran nito ay totoo din ibig sabihin, ang mga chord ng isang bilog na katumbas ng layo mula sa gitna ay pantay.

• Kung ang dalawang arko ay nag-subtend ng pantay na mga anggulo sa gitna sila ay pantay.
• Sa pantay na mga bilog o sa parehong bilog kung ang dalawang chord ay pantay, pinutol nila ang pantay na mga arko.

Ang Arc PMQ ay nag-subtend ng ∠ POQ sa gitna, ang Arc ANB ay nag-subtend ng ∠ AOB sa gitna at ∠ POQ = ∠ AOB pagkatapos ay \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Kung Chord PQ = Chord AB pagkatapos \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Ang kabaligtaran nito ay totoo din ie, Equal arcs subtend pantay na anggulo sa gitna. At kung ang dalawang arko ay pantay ang mga chord ng mga arko ay pantay din.

Subukan nating lutasin ang ilang mga katanungan batay sa mga teorema sa itaas.

Halimbawa 1: Patunayan na sa alinmang dalawang chord ng isang bilog, ang isa na mas malaki ay mas malapit sa gitna.

Ibinigay : AB > CD, patunayan : OP < OQ
Bilang
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
At OA = OC = radius ng bilog.
Sa △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² at sa △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
ibig sabihin, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² bilang AP > CQ, samakatuwid AP ² > CQ ²

para gawing LHS = RHS, OQ ² > OP ² o OQ > OP

Halimbawa 2 : Sa pantay na bilog na may mga sentrong O at Q, hanapin ang sukat ng ∠DQE

Bilang \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , samakatuwid ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Ang anggulong na-subtend sa gitna ng isang arko ng isang bilog ay doble ang anggulo na ibinababa ng arko na ito sa anumang natitirang bahagi ng circumference.
  
  Isang bilog na may gitnang O kung saan ang arc AB ay nakasubtend ng ∠ AOB sa gitna at ∠ APB sa anumang punto sa circumference pagkatapos ay ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Sa isang bilog ang anggulo sa a

1. Ang kalahating bilog ay isang tamang anggulo .(figure i)
2. Ang mga segment na mas malaki sa kalahating bilog ay mas mababa sa tamang anggulo. (larawan ii)
3. Ang segment na mas mababa sa kalahating bilog ay mas malaki kaysa sa tamang anggulo. (larawan iii)

segment ACB sa figure i ay isang kalahating bilog, samakatuwid ∠ ACB = 90 ^o , ang segment sa figure ii ay mas malaki kaysa sa isang kalahating bilog kaya ∠ ACB < 90 ^o , segment ACB ay figure iii ay mas mababa sa isang kalahating bilog at samakatuwid ∠ ACB > 90 ^o

• Ang mga anggulo sa parehong segment ng isang bilog ay pantay.

Ang AB ay isang segment na nagpapa-subtend ng ∠ 1, ∠ 2 at ∠ 3 sa circumference pagkatapos ay ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Ang kabaligtaran na anggulo ng isang cyclic quadrilateral ay pandagdag.

Kung ang mga vertices ng isang quadrilateral ay nasa isang bilog ito ay tinatawag na isang cyclic quadrilateral.

∠ A + ∠ C = 180° at ∠ B + ∠ D = 180°

• Ang tangent sa anumang punto ng bilog at ang radius sa puntong ito ay patayo sa isa't isa.

Ang O ay ang sentro ng bilog at ang AB ay padaplis sa bilog sa punto P pagkatapos ay OP \(\perp\) AB.

• Kung ang dalawang tangent ay iguguhit sa isang bilog mula sa isang panlabas na punto kung gayon:

1. Ang mga tangent ay pantay ang haba
2. Ang mga tangent ay nag-subtend ng pantay na mga anggulo sa gitna ng bilog.
3. Ang mga tangent ay pantay na nakahilig sa linyang nagdurugtong sa punto at sa gitna ng bilog.
4. Ang anggulo sa pagitan ng mga tangent ay pandagdag sa anggulo na ibinababa ng mga ito sa gitna.

Isang bilog na may gitnang O. Dalawang tangent na BQ at BP ang iginuhit mula sa punto B hanggang sa bilog .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Halimbawa 3: Anong fraction ng buong bilog ang arc PQ sa figure sa ibaba?

Sumali sa PO at PR. Kung ∠ PQR = 120° kung gayon ∠ POR = 240° ( Ang anggulong pinababa sa gitna ng isang arko ng bilog ay doble ang anggulo na ibinababa ng arko na ito sa anumang natitirang bahagi ng circumference.)

240° = \(\frac{2}{3}\) ng 360°, samakatuwid ang Major arc PR ay dalawang-katlo ng bilog.

Halimbawa 4: Ang OP at OQ ay mga tangent. Kung OP = 4 cm. Maghanap ng OQ.

Bilang OP = 4, samakatuwid OQ = 4 (Kung ang dalawang tangent ay iguguhit sa isang bilog mula sa isang panlabas na punto ay pantay ang haba)