Back to the topics list

teğet, yay ve segment

Çizgiler ve daireler geometrideki önemli temel figürlerdir. Bir çizginin sabit bir yönde hareket eden iki veya daha fazla noktadan geçen bir yol olduğunu, dairenin ise bir düzlemdeki sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki tüm noktaların kümesi olduğunu biliyoruz. Burada bir dairenin önemli özelliklerini ayrıntılı olarak tartışacağız.

• Çapı olmayan bir kirişi ikiye bölen bir dairenin merkezinden çizilen düz çizgi, kirişe diktir.

AB, merkezi O olan bir çemberin kirişidir.

D, AB'nin orta noktasıdır ve OD birleştirilirse \(OD \perp AB\)

Bunun tersi de doğrudur, yani bir dairenin merkezinden bir akora dik olarak çizilen düz bir çizgi akoru ikiye böler.

• Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan bir ve yalnızca bir daire çizilebilir.

• Bir dairenin eşit kirişleri merkezden eşit uzaklıktadır.

O merkezli bir çemberde AB kirişi = EF kirişi. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) sonra \(OH = OD\)

Bunun tersi de doğrudur; yani merkezden eşit uzaklıktaki bir dairenin kirişleri eşittir.

• Eğer iki yay merkezde eşit açılara sahipse bunlar eşittir.
• Eşit dairelerde veya aynı daire içinde iki akor eşitse eşit yaylar kesilir.

Arc PMQ merkezde ∠ POQ'ya karşılık gelir, Arc ANB merkezde ∠ AOB'ye karşılık gelir ve ∠ POQ = ∠ AOB sonra \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Akor PQ = Akor AB ise \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Bunun tersi de doğrudur, yani Eşit yaylar merkezde eşit açıya sahiptir. Ve eğer iki yay eşitse, yayların kirişleri de eşittir.

Yukarıdaki teoremlere dayanarak birkaç soruyu çözmeye çalışalım.

Örnek 1: Bir dairenin herhangi iki kirişinden büyük olanın merkeze daha yakın olduğunu kanıtlayın.

Verilen : AB > CD, kanıtlayın : OP < OQ
Gibi
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Ve OA = OC = dairenin yarıçapı.
△ OPA'da, OA ² = AP ² + OP ² ve △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
yani, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² , AP > CQ olduğundan AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² veya OQ > OP yapmak için

Örnek 2 : O ve Q merkezli eşit çemberde ∠DQE ölçüsünü bulun

\(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) olduğuna göre ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Bir daire yayının merkezde oluşturduğu açı, bu yayın çevrenin geri kalan kısmında gördüğü açının iki katıdır.
  
  AB yayının merkezde ∠ AOB ve çevre üzerindeki herhangi bir noktada ∠ APB olduğu O merkezli bir çember, o zaman ∠ AOB = 2 ∠ APB

• Bir daire içinde bir açı

1. Yarım daire dik açıdır .(Şekil i)
2. Yarım daireden büyük olan bölümler dik açıdan küçüktür. (şekil ii)
3. Yarım daireden küçük olan kısım dik açıdan büyüktür. (şekil iii)

şekil i'deki ACB parçası yarım dairedir, dolayısıyla ∠ ACB = 90 ^o , şekil ii'deki parça yarım daireden büyüktür dolayısıyla ∠ ACB < 90 ^o , ACB parçası şekil iii'tür yarım daireden küçüktür ve bu nedenle ∠ ACB > 90 ^o

• Bir dairenin aynı bölümündeki açılar eşittir.

AB, çevrede ∠ 1, ∠ 2 ve ∠ 3'e karşılık gelen bir doğru parçası olduğundan ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Döngüsel bir dörtgenin karşıt açıları tamamlayıcıdır.

Bir dörtgenin köşeleri bir daire üzerinde bulunuyorsa buna döngüsel dörtgen denir.

∠ Bir + ∠ C = 180° ve ∠ B + ∠ D = 180°

• Çemberin herhangi bir noktasındaki teğet ile bu noktadan geçen yarıçap birbirine diktir.

O çemberin merkezidir ve AB çembere P noktasında teğettir, sonra OP \(\perp\) AB olur.

• Bir çembere dış bir noktadan iki teğet çizilirse:

1. Teğet uzunlukları eşittir
2. Teğetler çemberin merkezinde eşit açılar oluşturur.
3. Teğetler, çemberin merkezi ile noktasını birleştiren doğruya eşit eğimlidir.
4. Teğetler arasındaki açı, merkezde gördükleri açının tamamlayıcısıdır.

O merkezli bir çember. B noktasından çembere iki teğet BQ ve BP çiziliyor .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Örnek 3: Aşağıdaki şekilde PQ yayının tüm çemberin ne kadarı kesiridir?

PO ve PR'a katılın. Eğer ∠ PQR = 120° ise ∠ POR = 240° (Bir daire yayının merkezde gördüğü açı, bu yayın çevrenin geri kalan herhangi bir kısmında gördüğü açının iki katıdır.)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360°, dolayısıyla Ana yay PR, dairenin üçte ikisidir.

Örnek 4: OP ve OQ teğettir. OP = 4 cm ise. OQ'yu bulun.

OP = 4 olduğundan OQ = 4 (Dış bir noktadan bir daireye çizilen iki teğetin uzunlukları eşitse)