Back to the topics list

дотична, дуга і відрізок

Лінії та кола є важливими елементарними фігурами в геометрії. Ми знаємо, що лінія — це шлях через дві або більше точок, що рухаються в постійному напрямку, тоді як коло — це набір усіх тих точок на площині, які однаково віддалені від деякої фіксованої точки. Тут ми детально обговоримо важливі властивості кола.

• Пряма лінія, проведена з центру кола і ділить навпіл хорду, яка не є діаметром, є перпендикулярною до хорди.

АВ — хорда кола з центром О.

D є серединою AB, а OD з’єднується, тоді \(OD \perp AB\)

Справедливо й зворотне, тобто пряма лінія, проведена з центру кола перпендикулярно до хорди, ділить хорду навпіл.

• Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести одне і тільки одне коло.

• Рівні хорди кола рівновіддалені від центра.

У колі з центром O хорда AB = хорда EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) тоді \(OH = OD\)

Справедливо й зворотне, тобто хорди кола, рівновіддалені від центру, рівні.

• Якщо дві дуги складають у центрі рівні кути, вони рівні.
• У рівних колах або в одному колі, якщо дві хорди рівні, вони відрізають рівні дуги.

Дуга PMQ дотримується ∠ POQ у центрі, Дуга ANB дотримується ∠ AOB у центрі та ∠ POQ = ∠ AOB, тоді \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Якщо хорда PQ = хорда AB, тоді \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Справедливо й протилежне цьому, тобто рівні дуги стягують однакові кути в центрі. А якщо дві дуги рівні, то і хорди дуг рівні.

Спробуємо розв’язати декілька питань на основі наведених вище теорем.

Приклад 1: Доведіть, що з будь-яких двох хорд кола більша розташована ближче до центру.

Дано: AB > CD, доведіть: OP < OQ
як
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
А OA = OC = радіус кола.
У △ OPA, OA ² = AP ² + OP ² і в △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
тобто CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² як AP > CQ, тому AP ² > CQ ²

щоб LHS = RHS, OQ ² > OP ² або OQ > OP

Приклад 2 : у рівному колі з центрами O і Q знайдіть міру ∠DQE

Оскільки \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , то ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°

• Кут, утворений у центрі дугою кола, вдвічі перевищує кут, який ця дуга утворює в будь-якій іншій частині кола.
  
  Коло з центром O, у якому дуга AB проходить через ∠ AOB у центрі та ∠ APB у будь-якій точці окружності, тоді ∠ AOB = 2 ∠ APB

• У колі кут в a

1. Півколо – це прямий кут (малюнок і)
2. Відрізки, більші за півколо, менші за прямий кут. (малюнок ii)
3. Відрізок, менший за півколо, більший за прямий кут. (малюнок iii)

відрізок ACB на малюнку i є півколом, тому ∠ ACB = 90 ^o , відрізок на малюнку ii більший за півколо, тому ∠ ACB < 90 ^o , відрізок ACB є фігурою iii меншим за півколо і тому ∠ ACB > 90 ^o

• Кути в одному сегменті кола рівні.

AB — відрізок, який стягується на колі ∠ 1, ∠ 2 і ∠ 3, тоді ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• Протилежні кути циклічного чотирикутника є додатковими.

Якщо вершини чотирикутника лежать на колі, то його називають циклічним чотирикутником.

∠ A + ∠ C = 180° і ∠ B + ∠ D = 180°

• Дотична в будь-якій точці кола і радіус, що проходить через цю точку, перпендикулярні один до одного.

O є центром кола, а AB дотикається до кола в точці P, тоді OP \(\perp\) AB.

• Якщо із зовнішньої точки до кола проведено дві дотичні, то:

1. Дотичні рівні за довжиною
2. Дотичні складають рівні кути в центрі кола.
3. Дотичні однаково нахилені до прямої, що сполучає точку і центр кола.
4. Кут між дотичними є додатковим до кута, який вони стягують у центрі.

Коло з центром O. З точки B до кола проведено дві дотичні BQ і BP .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

Приклад 3: Яку частину всього кола становить дуга PQ на малюнку нижче?

Приєднуйтесь до PO та PR. Якщо ∠ PQR = 120°, то ∠ POR = 240° (Кут, утворений у центрі дугою кола, подвоюється за кут, який ця дуга утворює в будь-якій іншій частині кола.)

240° = \(\frac{2}{3}\) від 360°, тому велика дуга PR становить дві третини кола.

Приклад 4: OP і OQ є дотичними. Якщо OP = 4 см. Знайти OQ.

Оскільки OP = 4, то OQ = 4 (якщо дві дотичні, проведені до кола із зовнішньої точки, мають однакову довжину)