Back to the topics list

ٹینجینٹ, قوس اور طبقہ

لکیریں اور دائرے جیومیٹری میں اہم ابتدائی اعداد ہیں۔ ہم جانتے ہیں کہ ایک لکیر دو یا دو سے زیادہ پوائنٹس سے گزرنے والا راستہ ہے جو ایک مستقل سمت میں حرکت کرتی ہے جبکہ دائرہ ایک جہاز میں ان تمام پوائنٹس کا مجموعہ ہے جو کسی مقررہ نقطہ سے یکساں طور پر دور ہے۔ یہاں ہم دائرے کی اہم خصوصیات پر تفصیل سے بات کریں گے۔

• دائرے کے بیچ سے کھینچی گئی ایک سیدھی لکیر جو ایک راگ کو دو حصوں میں تقسیم کرتی ہے جس کا قطر نہیں ہوتا ہے وہ راگ پر کھڑا ہوتا ہے۔

AB مرکز O کے ساتھ دائرے کا ایک راگ ہے۔

D AB کا درمیانی نقطہ ہے اور OD جوڑا جاتا ہے پھر \(OD \perp AB\)

اس کا مکالمہ بھی درست ہے یعنی دائرے کے مرکز سے ایک سیدھی لکیر جو ایک راگ پر کھڑی ہوتی ہے جو راگ کو بانٹتی ہے۔

• ایک اور صرف ایک دائرے کو تین پوائنٹس کے ذریعے کھینچا جا سکتا ہے جو ایک ہی سیدھی لائن میں نہیں پڑے ہیں۔

• دائرے کے مساوی chords مرکز سے مساوی ہیں۔

مرکز O کے ساتھ دائرے میں، راگ AB = راگ EF۔ \(OH \perp EF , OD \perp AB \) پھر \(OH = OD\)

اس کا مکالمہ بھی درست ہے یعنی مرکز سے مساوی دائرے کی chords برابر ہیں۔

• اگر دو قوس مرکز میں مساوی زاویوں کو کم کرتے ہیں تو وہ برابر ہوتے ہیں۔
• مساوی دائروں میں یا ایک ہی دائرے میں اگر دو chords برابر ہوں تو وہ مساوی آرکس کو کاٹ دیتے ہیں۔

آرک PMQ مرکز میں ∠ POQ کو ذیلی کرتا ہے، Arc ANB مرکز میں ∠ AOB اور ∠ POQ = ∠ AOB پھر \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

اگر Chord PQ = Chord AB پھر \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

اس کا مکالمہ بھی درست ہے یعنی مساوی قوس مرکز میں مساوی زاویہ کو کم کرتا ہے۔ اور اگر دو قوس برابر ہیں تو قوس کی راگ بھی برابر ہیں۔

آئیے مندرجہ بالا نظریات کی بنیاد پر چند سوالات کو حل کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

مثال 1: ثابت کریں کہ دائرے کے کسی بھی دو راگ میں سے جو بڑا ہے وہ مرکز کے قریب ہے۔

دیا گیا: AB > CD، ثابت کریں: OP < OQ
جیسا کہ
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
اور OA = OC = دائرے کا رداس۔
△ OPA میں، OA ² = AP ² + OP ² اور میں △ OQC، OC ² = CQ ² + OQ ²
یعنی، CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² بطور AP > CQ، لہذا AP ² > CQ ²

LHS = RHS، OQ ² > OP ² یا OQ > OP بنانے کے لیے

مثال 2 : مرکز O اور Q کے ساتھ مساوی دائرے میں، ∠DQE کی پیمائش معلوم کریں۔

جیسا کہ \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) ، لہذا ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 − 43 = 125°

• دائرے کے قوس کے ذریعے مرکز میں جو زاویہ جمع کیا جاتا ہے وہ اس زاویہ سے دوگنا ہوتا ہے جسے یہ قوس فریم کے کسی بھی بقیہ حصے پر کم کرتا ہے۔
  
  مرکز O کے ساتھ ایک دائرہ جس میں قوس AB مرکز میں ∠ AOB اور ∠ APB فریم پر کسی بھی نقطہ پر پھر ∠ AOB = 2 ∠ APB

• ایک دائرے میں زاویہ a میں

1. نیم دائرہ ایک دائیں زاویہ ہے ۔(شکل i)
2. نیم دائرے سے بڑے حصے صحیح زاویہ سے کم ہوتے ہیں۔ (شکل ii)
3. ایک نیم دائرے سے چھوٹا سیگمنٹ صحیح زاویہ سے بڑا ہے۔ (شکل iii)

شکل i میں سیگمنٹ ACB ایک نیم دائرہ ہے، لہذا ∠ ACB = 90 ^o ، شکل ii میں سیگمنٹ ایک نیم دائرے سے بڑا ہے لہذا ∠ ACB <90 ^o ، سیگمنٹ ACB شکل iii ایک نیم دائرے سے کم ہے اور لہذا ∠ ACB > 90 ^o

• دائرے کے ایک ہی حصے میں زاویے برابر ہیں۔

AB ایک سیگمنٹ ہے جو ∠ 1، ∠ 2 اور ∠ 3 کو فریم پر کم کرتا ہے پھر ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3

• چکراتی چوکور کا مخالف زاویہ ضمنی ہوتا ہے۔

اگر چوکور کے عمودی دائرے پر واقع ہوں تو اسے چکراتی چوکور کہا جاتا ہے۔

∠ A + ∠ C = 180° اور ∠ B + ∠ D = 180°

• دائرے کے کسی بھی نقطے پر مماس اور اس نقطے سے گزرنے والا رداس ایک دوسرے پر کھڑا ہوتا ہے۔

O دائرے کا مرکز ہے اور AB نقطہ P پر دائرے کا مماس ہے پھر OP \(\perp\) AB۔

• اگر دو مماس خارجی نقطہ سے دائرے کی طرف کھینچے جائیں تو:

1. ٹینجنٹ لمبائی میں برابر ہیں۔
2. ٹینجنٹ دائرے کے مرکز میں مساوی زاویوں کو کم کرتے ہیں۔
3. ٹینجنٹ نقطہ اور دائرے کے مرکز میں شامل ہونے والی لائن کی طرف یکساں طور پر مائل ہوتے ہیں۔
4. ٹینجنٹ کے درمیان زاویہ اس زاویے کے لیے اضافی ہے جسے وہ مرکز میں جھکاتے ہیں۔

مرکز O کے ساتھ ایک دائرہ۔ دو ٹینجنٹ BQ اور BP پوائنٹ B سے دائرے کی طرف کھینچے گئے ہیں ۔

• پی بی = کیو بی
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

مثال 3: نیچے دی گئی شکل میں قوس PQ پورے دائرے کا کون سا حصہ ہے؟

PO اور PR میں شامل ہوں۔ اگر ∠ PQR = 120° تو ∠ POR = 240° ( دائرے کے قوس کے ذریعے مرکز میں جو زاویہ جمع کیا جاتا ہے وہ اس زاویہ سے دوگنا ہوتا ہے جسے یہ قوس فریم کے کسی بھی بقیہ حصے پر کم کرتا ہے۔)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360° کا، لہذا میجر آرک PR دائرے کا دو تہائی ہے۔

مثال 4: OP اور OQ ٹینجنٹ ہیں۔ اگر OP = 4 سینٹی میٹر۔ OQ تلاش کریں۔

OP = 4 کے طور پر، لہذا OQ = 4 (اگر دو مماس ایک خارجی نقطہ سے دائرے کی طرف کھینچے جائیں تو لمبائی میں برابر ہوں)