Back to the topics list

teginish, yoy va segment

Chiziqlar va doiralar geometriyaning muhim elementar figuralaridir. Biz bilamizki, chiziq doimiy yo'nalishda harakatlanadigan ikki yoki undan ortiq nuqtadan o'tadigan yo'ldir, aylana esa tekislikdagi barcha nuqtalar to'plamidir va u qandaydir qo'zg'almas nuqtadan bir xil masofada joylashgan. Bu erda biz aylananing muhim xususiyatlarini batafsil muhokama qilamiz.

• Diametri bo'lmagan akkordni ikkiga bo'lish uchun aylananing markazidan chizilgan to'g'ri chiziq akkordga perpendikulyar.

AB - markazi O bo'lgan aylana akkordi.

D - AB ning o'rta nuqtasi va OD ulanadi, keyin \(OD \perp AB\)

Buning teskarisi ham to'g'ri, ya'ni aylana markazidan akkordaga perpendikulyar chizilgan to'g'ri chiziq akkordni ikkiga bo'ladi.

• Bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta orqali bitta va faqat bitta doira o'tkazish mumkin.

• Aylananing teng akkordlari markazdan bir xil masofada joylashgan.

Markazi O bo'lgan aylanada akkorda AB = akkorda EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) keyin \(OH = OD\)

Buning teskarisi ham to'g'ri, ya'ni markazdan teng masofada joylashgan aylana akkordlari tengdir.

• Agar ikkita yoy markazda teng burchaklarga ega bo'lsa, ular tengdir.
• Teng aylanalarda yoki bitta aylanada ikkita akkord teng bo'lsa, ular teng yoylarni kesib tashlaydi.

Arc PMQ markazda ∠ POQ ni, ANB yoyi markazda ∠ AOB ni va ∠ POQ = ∠ AOB ni, keyin \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Agar akkord PQ = Chord AB bo'lsa, u holda \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)

Buning aksi ham to'g'ri, ya'ni Teng yoylar markazda teng burchakka ega. Va agar ikkita yoy teng bo'lsa, yoylarning akkordlari ham teng bo'ladi.

Keling, yuqoridagi teoremalarga asoslanib, bir nechta savollarni hal qilishga harakat qilaylik.

1-misol: Doiraning har qanday ikkita akkordlaridan qaysi biri kattaroq bo'lsa, markazga yaqinroq ekanligini isbotlang.

Berilgan: AB > CD, isbotlang: OP < OQ
Sifatida
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Va OA = OC = aylana radiusi.
△ OPA da OA ² = AP ² + OP ² va ichida △ OQC, OC ² = CQ ² + OQ ²
ya'ni, CQ ² + OQ ² = AP ² + OP ² AP > CQ sifatida, shuning uchun AP ² > CQ ²

LHS = RHS, OQ ² > OP ² yoki OQ > OP qilish

2-misol : O va Q markazlari bo‘lgan teng aylanada ∠DQE o‘lchamini toping

\(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) sifatida, shuning uchun ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24

∠DQE = 7 × 24 - 43= 125°

• Aylana yoyining markazida joylashgan burchak, aylananing qolgan har qanday qismida bu yoy bo'lgan burchakdan ikki baravar ko'pdir.
  
  AB yoyi markazda ∠ AOB ga va aylananing istalgan nuqtasida ∠ APB ga cho'zilgan O' markazli aylana, keyin ∠ AOB = 2 ∠ APB bo'ladi.

• Aylanada burchak a

1. Yarim doira to'g'ri burchakdir .(I-rasm)
2. Yarim doiradan katta bo'lgan segmentlar to'g'ri burchakdan kamroq. (II-rasm)
3. Yarim doiradan kichik bo'lgan segment to'g'ri burchakdan kattaroqdir. (III-rasm)

i rasmdagi ACB segmenti yarim doira, shuning uchun ∠ ACB = 90 ^o , ii rasmdagi segment yarim doiradan katta, shuning uchun ∠ ACB < 90 ^o , ACB segmenti iii rasm yarim doiradan kichik va shuning uchun ∠ ACB > 90 ^o

• Aylananing bir xil segmentidagi burchaklar teng.

AB - aylana bo'ylab ∠ 1, ∠ 2 va ∠ 3 ga bo'linadigan segment, keyin ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 bo'ladi.

• Tsiklik to'rtburchakning qarama-qarshi burchagi to'ldiruvchidir.

Agar to'rtburchakning uchlari aylana ustida joylashgan bo'lsa, u tsiklik to'rtburchak deyiladi.

∠ A + ∠ C = 180° va ∠ B + ∠ D = 180°

• Doiraning istalgan nuqtasidagi tangens va bu nuqtadan o'tgan radius bir-biriga perpendikulyar.

O aylananing markazi va AB P nuqtada aylanaga tegib, keyin OP \(\perp\) AB.

• Agar tashqi nuqtadan aylanaga ikkita tangens chizilgan bo'lsa, u holda:

1. Tangenslar uzunligi teng
2. Tangenslar aylananing markazida teng burchaklarni tortadi.
3. Tangenslar nuqta va aylananing markazini birlashtiruvchi chiziqqa teng darajada moyil bo'ladi.
4. Tangenslar orasidagi burchak ular markazda joylashgan burchakka qo'shimcha hisoblanadi.

Markazi O bo'lgan aylana. B nuqtadan aylanaga ikkita tangens BQ va BP chizilgan .

• PB = QB
• ∠ BOQ = ∠ BOP
• ∠ QBO = ∠ PBO
• ∠ POQ + ∠ PBQ = 180°

3-misol: Quyidagi rasmdagi PQ yoyi butun aylananing necha qismini tashkil qiladi?

PO va PRga qo'shiling. Agar ∠ PQR = 120 ° bo'lsa, u holda ∠ POR = 240 ° (aylana yoyi bilan markazda joylashgan burchak aylananing qolgan har qanday qismida bu yoy bo'lgan burchakdan ikki baravar ko'pdir.)

240° = \(\frac{2}{3}\) 360°, shuning uchun asosiy yoy PR aylananing uchdan ikki qismini tashkil qiladi.

4-misol: OP va OQ tangensdir. Agar OP = 4 sm bo'lsa. OQ toping.

Sifatida OP = 4, shuning uchun OQ = 4 (Agar tashqi nuqtadan aylanaga ikkita teg uzunliklari teng bo'lsa)