Đường thẳng và đường tròn là những hình cơ bản quan trọng trong hình học. Chúng ta biết rằng đường thẳng là đường đi qua hai hoặc nhiều điểm chuyển động theo một hướng không đổi trong khi đường tròn là tập hợp tất cả những điểm đó trong một mặt phẳng có khoảng cách bằng nhau đến một số điểm cố định. Ở đây chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về các thuộc tính quan trọng của hình tròn.
AB là dây của đường tròn tâm O.
D là trung điểm của AB và OD nối nhau thì \(OD \perp AB\)
Điều ngược lại cũng đúng, tức là một đường thẳng kẻ từ tâm đường tròn vuông góc với một dây cung sẽ chia đôi dây cung đó.
Trong đường tròn tâm O, dây AB = dây EF. \(OH \perp EF , OD \perp AB \) rồi \(OH = OD\)
Điều ngược lại cũng đúng, tức là các dây của một đường tròn cách đều tâm thì bằng nhau.
Cung PMQ phụ ∠ POQ ở tâm, Arc ANB phụ ∠ AOB ở tâm và ∠ POQ = ∠ AOB thì \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)
Nếu Hợp âm PQ = Hợp âm AB thì \(\stackrel\frown{PMQ}= \stackrel\frown{ANB}\)
Điều ngược lại cũng đúng, tức là các cung bằng nhau có góc bằng nhau ở tâm. Và nếu hai cung bằng nhau thì dây cung của các cung đó cũng bằng nhau.
Chúng ta hãy cố gắng giải quyết một số câu hỏi dựa trên các định lý trên.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong hai dây bất kỳ của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
Cho : AB > CD, chứng minh : OP < OQ
BẰNG
\(OP \perp AB \\ OQ \perp CD\)
Và OA = OC = bán kính hình tròn.
Trong △ OPA, OA 2 = AP 2 + OP 2 và trong △ OQC, OC 2 = CQ 2 + OQ 2
tức là CQ 2 + OQ 2 = AP 2 + OP 2 là AP > CQ, do đó AP 2 > CQ 2
để tạo LHS = RHS, OQ 2 > OP 2 hoặc OQ > OP
Ví dụ 2 : Trong đường tròn bằng nhau tâm O và Q, tìm số đo ∠DQE
Vì \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{DE}\) , do đó ∠AOB = ∠DQE
5y + 5 = 7y − 43 =>2y = 48 => y = 24
∠DQE = 7 × 24 − 43= 125°
Đoạn ACB ở hình i là nửa đường tròn nên ∠ ACB = 90 o , đoạn ở hình ii lớn hơn nửa hình tròn nên ∠ ACB < 90 o , đoạn ACB là hình iii nhỏ hơn nửa đường tròn và do đó ∠ ACB > 90 o
AB là đoạn thẳng phụ thuộc ∠ 1, ∠ 2 và ∠ 3 tại chu vi thì ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3
Nếu các đỉnh của một tứ giác nằm trên một đường tròn thì tứ giác đó được gọi là tứ giác nội tiếp.
∠ A + ∠ C = 180° và ∠ B + ∠ D = 180°
O là tâm đường tròn và AB tiếp tuyến với đường tròn tại điểm P thì OP \(\perp\) AB.
Một đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến BQ và BP từ điểm B tới đường tròn .
Ví dụ 3: Cung PQ trong hình dưới đây là bao nhiêu phần của đường tròn?
Tham gia PO và PR. Nếu ∠ PQR = 120° thì ∠ POR = 240° ( Góc chắn một cung tròn ở tâm sẽ gấp đôi góc mà cung này chắn ở phần còn lại của chu vi.)
240° = \(\frac{2}{3}\) của 360°, do đó cung lớn PR bằng 2/3 đường tròn.
Ví dụ 4: OP và OQ là tiếp tuyến. Nếu OP = 4 cm. Tìm OQ.
Vì OP = 4 nên OQ = 4 (Nếu hai tiếp tuyến vẽ một đường tròn từ một điểm bên ngoài có độ dài bằng nhau)
