يشير المصطلح "متوسط" إلى النقطة "الوسطى" أو "المركزية". يشير المصطلح إلى رقم يمثل تمثيلًا نموذجيًا لمجموعة من الأرقام أو مجموعة البيانات. يمكن حساب المتوسطات بطرق مختلفة ، وهنا نغطي أكثر المتوسطات استخدامًا: المتوسط والوسيط والوضع. عندما يتم استخدام مصطلح "المتوسط" بالمعنى الرياضي ، فإنه يشير عادةً إلى المتوسط ، خاصةً عندما لا يتم تقديم معلومات أخرى. الاتجاه المركزي هو كلمة أكثر ملاءمة للإشارة إلى المتوسط والوسيط والوضع. مقياس الاتجاه المركزي هو قيمة واحدة تحاول وصف مجموعة من البيانات عن طريق تحديد الموقع المركزي ضمن مجموعة البيانات هذه.
يتم الحصول على متوسط البيانات غير المبوبة أو الخام عن طريق إضافة جميع الملاحظات وقسمة الإجمالي على عدد الملاحظات. إذا كانت x 1 ، x 2 ، x 3 ، ... x n تكون n من الملاحظات ، فسيتم الإشارة إلى متوسطها بواسطة \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
يعني = مجموع المشاهدات / عدد المشاهدات
مثال 1: العلامات التي سجلها طلاب الصف الثامن هي 3 و 5 و 7 و 10 و 4 و 6 و 8 و 9. حدد العلامات المتوسطة.
عدد الطلاب في الفصل 8.
مجموع العلامات المسجلة ، \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
مثال 2: إذا كان متوسط 9 و 14 و x + 3 و 12 و 2x - 1 و 3 هو 9. أوجد قيمة x.
عدد المشاهدات 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3 س = 54 - 39 => 3 س = 15
∴ س = 5
المتوسط الحسابي للبيانات المجدولة
إذا كان تكرار n من الملاحظات x 1 ، x 2 ، x 3 ، ... x n يكون f 1 ، f 2 ، f 3 ، ... f n على التوالي ، فإن \(\bar x\) يكون
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
مثال 1: ابحث عن المتوسط للتوزيع التالي
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| F | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
المحلول:
| x | F | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
نمط البيانات الإحصائية هو المتغير الذي يحدث بشكل متكرر. وبالتالي ، فإن الوضع هو قيمة ذلك المتغير الذي له أقصى تردد . على سبيل المثال ، في البيانات التالية 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 4 ، 4 ، 5 ، 3 ، 7
يحدث الرقم 4 3 مرات (كحد أقصى) لذا فإن 4 هو وضع هذه السلسلة.
ليس من الضروري أن يكون هناك وضع واحد فقط في البيانات. دعونا نرى بعض الأمثلة:
مثال 1: ابحث عن وضع البيانات التالية: 2 ، 3 ، 8 ، 9 ، 4
حيث أن كل رقم يحدث مرة واحدة فقط وبالتالي ليس له وضع.
مثال 2: في البيانات 2 و 2 و 2 و 3 و 4 و 4 و 6 و 6 و 6 و 7 و 2 و 6 كلا الوضعين.
مثال 3: ابحث عن وضع البيانات التالية:
| حجم القميص (بالبوصة) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| عدد القمصان المباعة | 45 | 35 | 15 | 40 |
في توزيع التردد ، يكون الوضع هو قيمة ذلك المتغير الذي يحتوي على أعلى تردد. وضع هذا التوزيع هو قميص 32 بوصة.
إذا تم ترتيب الملاحظات المحددة بترتيب ، ويفضل أن يكون ذلك من الأصغر إلى الأكبر ، يتم تعريف الوسيط على أنه الملاحظة الوسطى إذا كان عدد الملاحظات فرديًا. إذا كان عدد الملاحظات متساويًا ، فإن متوسط الملاحظتين الأوسطتين هو الوسيط. لذلك سيكون هناك عدد متساوٍ من الملاحظات أعلى وأدنى من المتوسط.
إذا كان عدد الملاحظات هو n ثم
الوسيط = قيمة الملاحظة \(\frac{(n + 1)}{2 }\) إذا كانت n فردية
= متوسط \(\frac{n}{2}\) th و \((\frac{n}{2} + 1)\) الملاحظات إذا كان n زوجيًا
مثال 1: حدد متوسط القيم: 15 ، 6 ، 7 ، 14 ، 8 ، 10 ، 12
رتب البيانات بترتيب تصاعدي: 6 ، 7 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 15.
بما أن n تساوي 7 ، فإن الوسيط هو قيمة (7 + 1) ∕ 2 = الملاحظة الرابعة . 10 هو الوسيط.
مثال 2: أوجد متوسط القيم: 30 ، 32 ، 36 ، 25 ، 28 ، 29 ، 31 ، 40
رتب البيانات بترتيب تصاعدي: 25 ، 28 ، 29 ، 30 ، 31 ، 32 ، 36 ، 40
بما أن n تساوي 8 ، فإن الوسيط هو متوسط الملاحظة الرابعة والخامسة . = (30 + 31) 2 = 61/2 = 30.5
ما هو أفضل مقياس للنزعة المركزية؟
المتوسط هو المقياس الأكثر استخدامًا للاتجاه المركزي لأنه يستخدم جميع القيم في مجموعة البيانات لحساب المتوسط. ولكن في الحالات التي تحتوي فيها بياناتك على قيم متطرفة ، يكون الوسيط خيارًا أفضل. القيم المتطرفة هي قيم غير عادية مقارنة ببقية مجموعة البيانات من خلال كونها صغيرة أو كبيرة بشكل خاص من حيث القيمة العددية. الوضع هو المقياس الوحيد الذي يمكنك استخدامه للبيانات الفئوية التي لا يمكن طلبها.
