Der Begriff „Durchschnitt“ bezieht sich auf den „mittleren“ oder „zentralen“ Punkt. Der Begriff bezieht sich auf eine Zahl, die eine typische Darstellung einer Zahlengruppe oder eines Datensatzes ist. Durchschnitte können auf verschiedene Arten berechnet werden, hier behandeln wir die am häufigsten verwendeten: Mittelwert, Median und Modus. Wenn der Begriff „Durchschnitt“ im mathematischen Sinne verwendet wird, bezieht er sich normalerweise auf den Mittelwert, insbesondere wenn keine anderen Angaben gemacht werden. Zentrale Tendenz ist ein angemesseneres Wort, um sich auf Mittelwert, Median und Modus zu beziehen. Ein Maß für die zentrale Tendenz ist ein einzelner Wert, der versucht, einen Datensatz zu beschreiben, indem er die zentrale Position innerhalb dieses Datensatzes identifiziert.
Der Mittelwert der nicht gruppierten oder Rohdaten wird erhalten, indem alle Beobachtungen addiert und die Gesamtsumme durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt wird. Wenn x 1 , x 2 , x 3 ,...x n n Beobachtungen sind, dann wird ihr Mittelwert mit \(\bar x\) bezeichnet.
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Mittelwert = Summe der Beobachtungen/Anzahl der Beobachtungen
Beispiel 1: Die Schüler der Klasse 8 haben die Noten 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 und 9 erreicht. Bestimmen Sie die Durchschnittsnoten.
Die Anzahl der Schüler in der Klasse beträgt 8.
Summe der erzielten Punkte, \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Beispiel 2: Wenn der Mittelwert von 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 und 3 9 ist. Finden Sie den Wert von x.
Anzahl der Beobachtungen ist 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Arithmetisches Mittel tabellarischer Daten
Wenn die Häufigkeit von n Beobachtungen x 1 , x 2 , x 3 ,...x n jeweils f 1 , f 2 , f 3 ,...f n ist, dann ist ihre \(\bar x\)
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Beispiel 1: Finden Sie den Mittelwert für die folgende Verteilung
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Lösung:
| x | f | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
Die Art der statistischen Daten ist die am häufigsten vorkommende Variante. Der Modus ist also der Wert derjenigen Variablen, die eine maximale Häufigkeit hat . Zum Beispiel in den folgenden Daten 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Nummer 4 kommt 3 mal (maximal) vor, also ist 4 der Modus dieser Serie.
Es ist nicht notwendig, dass es in den Daten nur einen Modus geben kann. Sehen wir uns einige Beispiele an:
Beispiel 1: Finden Sie den Modus der folgenden Daten: 2, 3, 8, 9, 4
Da jede Zahl nur einmal vorkommt und daher keinen Modus hat.
Beispiel 2: In den Daten 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 und 6 sind beide Modi.
Beispiel 3: Finden Sie den Modus der folgenden Daten:
| Hemdgröße (in Zoll) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Anzahl der verkauften Hemden | 45 | 35 | fünfzehn | 40 |
In einer Häufigkeitsverteilung ist der Modus der Wert der Variablen mit der höchsten Häufigkeit. Der Modus dieser Verteilung ist ein 32-Zoll-Shirt.
Wenn die gegebenen Beobachtungen in einer Reihenfolge angeordnet sind, vorzugsweise von der kleinsten zur größten, wird der Median als mittlere Beobachtung definiert, wenn die Anzahl der Beobachtungen ungerade ist. Wenn die Anzahl der Beobachtungen gerade ist, dann ist der Mittelwert der beiden mittleren Beobachtungen der Median. Daher gibt es eine gleiche Anzahl von Beobachtungen über und unter dem Median.
Wenn die Anzahl der Beobachtungen n ist, dann
Median = Wert der \(\frac{(n + 1)}{2 }\) ten Beobachtung, wenn n ungerade ist
= Mittelwert der \(\frac{n}{2}\) -ten und \((\frac{n}{2} + 1)\) ten Beobachtungen, wenn n gerade ist
Beispiel 1: Ermitteln Sie den Median der Werte: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Daten in aufsteigender Reihenfolge anordnen: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Da n 7 ist, ist Median der Wert von (7+1)∕2 = 4. Beobachtung . 10 ist der Median.
Beispiel 2: Finden Sie den Median der Werte: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Ordnen Sie die Daten in aufsteigender Reihenfolge: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Da n 8 ist, ist der Median der Mittelwert der 4. und 5. Beobachtung. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
Was ist das beste Maß für die zentrale Tendenz?
Der Mittelwert ist das am häufigsten verwendete Maß für die zentrale Tendenz, da er alle Werte im Datensatz verwendet, um den Durchschnitt zu berechnen. Aber in Fällen, in denen Ihre Daten Ausreißer aufweisen, ist der Median eine bessere Option. Ausreißer sind Werte, die im Vergleich zum Rest des Datensatzes ungewöhnlich sind, indem sie einen besonders kleinen oder großen Zahlenwert aufweisen. Der Modus ist das einzige Maß, das Sie für kategoriale Daten verwenden können, die nicht geordnet werden können.
