El término 'promedio' se refiere al punto 'medio' o 'central'. El término se refiere a un número que es una representación típica de un grupo de números o conjunto de datos. Los promedios se pueden calcular de diferentes maneras, aquí cubrimos los más utilizados: la media, la mediana y la moda. Cuando el término 'promedio' se usa en un sentido matemático, generalmente se refiere a la media, especialmente cuando no se proporciona ninguna otra información. Tendencia central es una palabra más apropiada para referirse a la media, la mediana y la moda. Una medida de tendencia central es un valor único que intenta describir un conjunto de datos mediante la identificación de la posición central dentro de ese conjunto de datos.
La media de los datos sin agrupar o sin procesar se obtiene sumando todas las observaciones y dividiendo el total por el número de observaciones. Si x 1 , x 2 , x 3 ,...x n son n observaciones, entonces su media se denota por \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Media = Suma de las observaciones/Número de observaciones
Ejemplo 1: Las notas obtenidas por los estudiantes de la clase ocho son 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 y 9. Determine las notas medias.
El número de estudiantes en la clase es 8.
Suma de puntos obtenidos, \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Ejemplo 2: Si la media de 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 y 3 es 9. Encuentra el valor de x.
Número de observación es 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Media aritmética de datos tabulados
Si la frecuencia de n observaciones x 1 , x 2 , x 3 ,...x n es f 1 , f 2 , f 3 ,...f n respectivamente, entonces su \(\bar x\) es
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Ejemplo 1: Encuentra la media para la siguiente distribución
| X | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| F | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Solución:
| X | F | efectos especiales |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
La moda de los datos estadísticos es la variable que ocurre con mayor frecuencia. Así, la moda es el valor de aquella variable que tiene una frecuencia máxima . Por ejemplo, en los siguientes datos 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
El número 4 ocurre 3 veces (máximo), por lo que 4 es la moda de esta serie.
No es necesario que en los datos pueda haber una sola moda. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Encuentra la moda de los siguientes datos: 2, 3, 8, 9, 4
Como cada número ocurre solo una vez y, por lo tanto, no tiene modo.
Ejemplo 2: En los datos 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 y 6 son ambos modos.
Ejemplo 3: Encuentra la moda de los siguientes datos:
| Tamaño de la camisa (en pulgadas) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Número de camisetas vendidas | 45 | 35 | 15 | 40 |
En una distribución de frecuencias, la moda es el valor de ese variable que tiene la frecuencia más alta. La moda de esta distribución es camiseta de 32".
Si las observaciones dadas están ordenadas, preferiblemente de menor a mayor, la mediana se define como la observación del medio si el número de observaciones es impar. Si el número de observaciones es par, entonces la media de las dos observaciones del medio es la mediana. Por lo tanto, habrá un número igual de observaciones por encima y por debajo de la mediana.
Si el número de observaciones es n entonces
Mediana = valor de \(\frac{(n + 1)}{2 }\) la observación si n es impar
= media de \(\frac{n}{2}\) th y \((\frac{n}{2} + 1)\) th observaciones si n es par
Ejemplo 1: Determinar la mediana de los valores: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Organice los datos en orden ascendente: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Como n es 7, la mediana es el valor de (7+1)∕2 = 4ª observación. 10 es la mediana.
Ejemplo 2: Encuentra la mediana de los valores: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Organice los datos en orden ascendente: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Como n es 8, la mediana es la media de la 4ª y la 5ª observación. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
¿Cuál es la mejor medida de tendencia central?
La media es la medida de tendencia central más utilizada porque utiliza todos los valores del conjunto de datos para calcular el promedio. Pero en los casos en que sus datos tengan valores atípicos, la mediana es una mejor opción. Los valores atípicos son valores que son inusuales en comparación con el resto del conjunto de datos por ser especialmente pequeños o grandes en valor numérico. La moda es la única medida que puede usar para datos categóricos que no se pueden ordenar.
