اصطلاح «متوسط» به نقطه «وسط» یا «مرکزی» اشاره دارد. این اصطلاح به عددی اطلاق می شود که نمایشی معمولی از گروهی از اعداد یا مجموعه داده است. میانگین ها را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد، در اینجا ما رایج ترین آنها را پوشش می دهیم: میانگین، میانه و حالت. هنگامی که اصطلاح «متوسط» در معنای ریاضی به کار می رود، معمولاً به میانگین اشاره دارد، به خصوص زمانی که اطلاعات دیگری ارائه نشده است. گرایش مرکزی کلمه مناسب تری برای اشاره به میانگین، میانه و حالت است. معیار گرایش مرکزی یک مقدار واحد است که تلاش می کند مجموعه ای از داده ها را با شناسایی موقعیت مرکزی در آن مجموعه داده توصیف کند.
میانگین داده های گروه بندی نشده یا خام با جمع کردن همه مشاهدات و تقسیم کل بر تعداد مشاهدات به دست می آید. اگر x 1 , x 2 , x 3 ,...x n n مشاهدات باشند، میانگین آنها با \(\bar x\) نشان داده می شود.
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
میانگین = مجموع مشاهدات/تعداد مشاهدات
مثال 1: نمرات دانش آموزان کلاس هشتم 3، 5، 7، 10، 4، 6، 8 و 9 است. میانگین نمرات را تعیین کنید.
تعداد دانش آموزان کلاس 8 نفر می باشد.
مجموع امتیازهای کسب شده، \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
مثال 2: اگر میانگین 9، 14، x + 3، 12، 2x - 1 و 3 9 باشد. مقدار x را بیابید.
تعداد مشاهدات 6 عدد است
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
میانگین حسابی داده های جدول بندی شده
اگر بسامد n مشاهده x 1 , x 2 , x 3 ,...x n به ترتیب f 1 , f 2 , f 3 ,...f n باشد آنگاه \(\bar x\) آنها برابر است
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
مثال 1: میانگین توزیع زیر را بیابید
| ایکس | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
راه حل:
| ایکس | f | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
حالت داده های آماری، متغیری است که بیشتر رخ می دهد. بنابراین، حالت مقدار متغیری است که دارای حداکثر فرکانس است . به عنوان مثال، در داده های زیر 2، 3، 4، 5، 4، 4، 5، 3، 7
عدد 4 3 بار اتفاق می افتد (حداکثر) بنابراین 4 حالت این سری است.
لازم نیست که در داده ها فقط یک حالت وجود داشته باشد. چند نمونه را ببینیم:
مثال 1: حالت داده های زیر را بیابید: 2، 3، 8، 9، 4
همانطور که هر عدد فقط یک بار رخ می دهد و از این رو حالتی ندارد.
مثال 2: در داده های 2، 2، 2، 3، 4، 4، 6، 6، 6، 7- 2 و 6 هر دو حالت هستند.
مثال 3: حالت داده های زیر را بیابید:
| اندازه پیراهن (به اینچ) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| تعداد پیراهن فروخته شده | 45 | 35 | 15 | 40 |
در توزیع فرکانس، مد مقدار متغیری است که بیشترین فرکانس را دارد. حالت این توزیع پیراهن 32 اینچی است.
اگر مشاهدات داده شده به ترتیبی چیده شوند، ترجیحاً از کوچکترین به بزرگترین، اگر تعداد مشاهدات فرد باشد، میانه به عنوان مشاهده وسط تعریف می شود. اگر تعداد مشاهدات زوج باشد، میانگین دو مشاهدات میانی، میانه است. بنابراین تعداد مساوی مشاهدات در بالا و پایین میانه وجود خواهد داشت.
اگر تعداد مشاهدات n باشد
میانه = مقدار \(\frac{(n + 1)}{2 }\) امین مشاهده اگر n فرد باشد
= میانگین \(\frac{n}{2}\) ام و \((\frac{n}{2} + 1)\) امین مشاهدات اگر n زوج باشد
مثال 1: میانه مقادیر: 15، 6، 7، 14، 8، 10، 12 را تعیین کنید.
ترتیب داده ها به ترتیب صعودی: 6، 7، 8، 10، 12، 14، 15.
از آنجایی که n 7 است بنابراین میانه مقدار (7+1)∕2 = چهارمین مشاهده است. 10 میانه است.
مثال 2: میانه مقادیر را بیابید: 30، 32، 36، 25، 28، 29، 31، 40
ترتیب داده ها به ترتیب صعودی: 25، 28، 29، 30، 31، 32، 36، 40
از آنجایی که n 8 است بنابراین میانه میانگین مشاهده چهارم و پنجم است. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30.5
بهترین معیار برای سنجش گرایش مرکزی چیست؟
میانگین رایج‌ترین معیار سنجش گرایش مرکزی است زیرا از تمام مقادیر موجود در مجموعه داده‌ها برای محاسبه میانگین استفاده می‌کند. اما در مواردی که داده های شما دارای نقاط پرت است، میانه گزینه بهتری است. مقادیر پرت مقادیری هستند که در مقایسه با بقیه مجموعه داده‌ها به دلیل کوچک یا بزرگ بودن مقادیر عددی غیرعادی هستند. حالت تنها معیاری است که می‌توانید برای داده‌های دسته‌بندی که نمی‌توان آنها را سفارش داد استفاده کنید.
