Le terme 'moyen' fait référence au point 'milieu' ou 'central'. Le terme fait référence à un nombre qui est une représentation typique d'un groupe de nombres ou d'un ensemble de données. Les moyennes peuvent être calculées de différentes manières, nous couvrons ici les plus couramment utilisées : la moyenne, la médiane et le mode. Lorsque le terme «moyenne» est utilisé dans un sens mathématique, il fait généralement référence à la moyenne, en particulier lorsqu'aucune autre information n'est donnée. La tendance centrale est un mot plus approprié pour désigner la moyenne, la médiane et le mode. Une mesure de tendance centrale est une valeur unique qui tente de décrire un ensemble de données en identifiant la position centrale au sein de cet ensemble de données.
La moyenne des données non groupées ou brutes est obtenue en additionnant toutes les observations et en divisant le total par le nombre d'observations. Si x 1 , x 2 , x 3 ,...x n sont n observations, alors leur moyenne est notée \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Moyenne = Somme des observations/Nombre d'observations
Exemple 1 : Les notes obtenues par les élèves de la huitième classe sont 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 et 9. Déterminez les notes moyennes.
Le nombre d'élèves dans la classe est de 8.
Somme des notes obtenues , \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Exemple 2 : Si la moyenne de 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 et 3 est 9. Trouver la valeur de x.
Le nombre d'observations est de 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Moyenne arithmétique des données tabulées
Si la fréquence de n observations x 1 , x 2 , x 3 ,...x n est respectivement f 1 , f 2 , f 3 ,...f n , alors leur \(\bar x\) est
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Exemple 1 : Trouver la moyenne de la distribution suivante
| X | 5 | 6 | sept | 8 | 9 |
| F | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
La solution:
| X | F | effet |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| sept | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
Le mode de données statistiques est la variable qui survient le plus fréquemment. Ainsi, le mode est la valeur de cette variable qui a une fréquence maximale . Par exemple, dans les données suivantes 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Le numéro 4 se produit 3 fois (maximum) donc 4 est le mode de cette série.
Il n'est pas nécessaire que dans les données il ne puisse y avoir qu'un seul mode. Voyons quelques exemples :
Exemple 1 : Trouver le mode des données suivantes : 2, 3, 8, 9, 4
Comme chaque nombre n'apparaît qu'une seule fois et qu'il n'a donc pas de mode.
Exemple 2 : Dans les données 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 et 6 sont les deux modes.
Exemple 3 : Trouver le mode des données suivantes :
| Taille de chemise (en pouces) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Nombre de chemises vendues | 45 | 35 | 15 | 40 |
Dans une distribution de fréquence, le mode est la valeur de cette variable qui a la fréquence la plus élevée. Le mode de cette distribution est la chemise 32".
Si les observations données sont rangées dans un ordre, de préférence de la plus petite à la plus grande, la médiane est définie comme l'observation du milieu si le nombre d'observations est impair. Si le nombre d'observations est pair, la moyenne des deux observations médianes est la médiane. Par conséquent, il y aura un nombre égal d'observations au-dessus et au-dessous de la médiane.
Si le nombre d'observations est n alors
Médiane = valeur de \(\frac{(n + 1)}{2 }\) ième observation si n est impair
= moyenne de \(\frac{n}{2}\) ième et \((\frac{n}{2} + 1)\) ième observations si n est pair
Exemple 1 : Déterminer la médiane des valeurs : 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Classez les données par ordre croissant : 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Comme n vaut 7, la médiane est donc la valeur de (7+1)∕2 = 4 ème observation. 10 est la médiane.
Exemple 2 : Trouver la médiane des valeurs : 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Organiser les données par ordre croissant : 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Comme n vaut 8, la médiane est donc la moyenne des 4 e et 5 e observations. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
Quelle est la meilleure mesure de tendance centrale ?
La moyenne est la mesure de tendance centrale la plus couramment utilisée car elle utilise toutes les valeurs de l'ensemble de données pour calculer la moyenne. Mais dans les cas où vos données présentent des valeurs aberrantes, la médiane est une meilleure option. Les valeurs aberrantes sont des valeurs qui sont inhabituelles par rapport au reste de l'ensemble de données en étant particulièrement petites ou grandes en valeur numérique. Le mode est la seule mesure que vous pouvez utiliser pour les données catégorielles qui ne peuvent pas être ordonnées.
